Раздел: Математические.
Категория: Теория игр

Теория игр – математический метод изучения оптимальной стратегии в играх. Несмотря на то, что предмет обладает несколько несерьезным названием, он имеет множество экономических приложений и го знание может помочь в оценке многих ситуаций. Теория игр позволяет оценивать игровые стратегии участников и выбрать лучший из предлагаемых вариантов. Зачастую, данный предмет не выделяется отдельно, а присутствует в программе, как часть «Математического моделирования», либо другого аналогичного предмета. Здесь мы приводим основные вопросы теории игр, которые могут предлагаться для изучения в программе предмета.

Основные понятия теории игр.

• Предмет теории игр. Понятие «игры».
• Примеры конфликтов, исследуемых в теории игр.
• Задачи принятия решения (ЗПР). Классификация задач принятия решений. Виды неопределенностей в ЗПР. Характеристика ЗПР.
• Формальное описание игры.
• Основные понятия и компоненты модели конфликта: множество участников, множество стратегий каждого участника, функции выигрыша участников, исход и множество исходов.
• Основные признаки наличия конфликтной ситуации.
• Характеристика основных классов игр в зависимости: а) от числа участников, б) взаимосвязи функций выигрыша, в) свойств множеств стратегий участников, г) способов реализации стратегий участниками, д) возможности образования коалиций участников и т.д.
• Правила игры. Чистые и смешанные стратегии. Матрица парных игр.
• Оптимальность решения игры.
• Понятие справедливости, выгодности и устойчивости решения игры.
• Нормальная форма игры.
• Развернутая форма игры.
• Информационные множества.
• Формальное описание игры в развернутой форме.
• Приведенная нормальная форма.
• Гибридная форма игры.
• Определение устойчивости игры по Нэшу (слабой устойчивости) и понятие сильной устойчивости.

Случайные ходы и лотереи

• Случайные ходы.
• Понятие лотереи.
• Операции с лотереями.
• Бейесова интерпретация функториальности.

Теория ожидаемой полезности

• Теория Неймана-Моргенштерна.
• Теорема об ожидаемой полезности. Теорема Неймана-Моргенштерна.
• Полезность денег.
• Теория Сэвиджа.

Антагонистические матричные игры (АМИ).

• Определение и примеры антагонистической матричной игры.
• Характеристика основных исходных свойств и параметров игры.
• Основной принцип подхода к решению антагонистической матричной игры.
• Примеры антагонистической матричной игры: «орел – решка», «три пальца» и «конкуренция».
• Принцип минимакса в решении антагонистической матричной игры.
• Понятия и алгоритмы вычисления минимакса и максимина (верхней и нижней цены) игры.
• Требования к свойствам решения антагонистической матричной игры. Понятие антагонистической матричной игры с седловой и без седловой точки.
• Решение антагонистической матричной игры в смешанных стратегиях. Строгое определение смешанной стратегии.
• Свойства антагонистической матричной игры, решаемых в смешанных стратегиях.
• Строгое определение выигрыша, цены игры, свойств решения игры в смешанных стратегиях.
• Оптимальные смешанные стратегии участников.
• Понятие активных стратегий.
• Пределы, ограничивающие цену антагонистической матричной игры, решаемой в смешанных стратегиях.
• Анализ свойств оптимальности антагонистической матричной игры. решаемой в смешанных стратегиях.
• Игры, аффинно-эквивалентные антагонистическим.
• Игра, аффинно-эквивалентная антагонистической матричной игре: определение, доказательство совпадения решений обеих игр в чистых и смешанных стратегиях.
• Антагонистические игры с полной информацией.
• Связь свободы обмена информацией с наличием седловой точки в матрице игры. Теоремы Цермело и фон-Неймана.

Бескоалиционные игры.

• Определение и свойства бескоалиционной игры.
• Гарантированный выигрыш участника конфликта; множество исходов, приемлемых для участника бескоалиционной игры.
• область жизнеспособных исходов и доказательство ее непустоты в бескоалиционной игре.
• Понятие оптимума Парето.
• Парные отношения доминирования/недоминирования между исходами бескоалиционных игр.
• Определение оптимума Парето на множестве исходов, свойства оптимума Парето: непустота, внутренняя и внешняя устойчивость.
• Определение переговорного множества. Связь с областью жизнеспособных исходов и оптимумом Парето.
• Доказательство равенства переговорного множества и оптимума Парето, определенного на области жизнеспособных исходов.
• Обсуждение переговорного множества с позиций оптимальности решения игры.
• Смысл слабой устойчивости решения БИ в чистых стратегиях.
• Строгое определение компромисса (в чистых стратегиях), устойчивого по Нэшу.
• Обсуждение равновесных по Нэшу исходов с позиций оптимальности решения бескоалиционных игр.
• Решение БИ в смешанных стратегиях.
• Задача отыскания равновесного по Нэшу решения бескоалиционной игры в смешанных стратегиях.
• Теорема Нэша о непустоте множества равновесий в конечных бескоалиционных играх, решаемых в смешанных стратегиях.
• Отсутствие обобщенных алгоритмов решения всего класса бескоалиционных игр в смешанных стратегиях.
• Аффинно-эквивалентные БИ.
• Равенство для аффинно-эквивалентных бескоалиционных игр: областей жизнеспособных исходов; оптимумов Парето; переговорных множеств; множеств исходов, равновесных по Нэшу, в чистых стратегиях; решений бескоалиционных игр в смешанных стратегиях.

Коалиционные игры.

• Понятия «коалиции интересов» и «коалиции действия».
• Коалиционные игры без побочных платежей и с побочными платежами.
• Коалиционные игры в форме характеристической функции.
• Характеристические функции: смысл и определение их численного значения для заданной коалиции.
• Представление игры в форме характеристической функции.
• Существенные игры: свойства и причины, по которым они являются предметом теории коалиционных игр.
• Суппераддитивность игр в форме характеристической функции. Случай игры с постоянной суммой.
• Решение КИ в форме характеристической функции.
• Дележ: смысл понятия и его строгое определение.
• Парные отношения доминирования/недоминирования дележей: строгое определение, содержательный смысл.
• С-ядро коалиционной игры в форме характеристической функции. Коалиционная и внешняя устойчивость С-ядра.
• NM-решение коалиционной игры в форме характеристическойфункции.
• Вектор Шепли.
• Концептуальные эвристические основы вектора Шепли.
• Свойства вектора Шепли. Аксиоматика вектора Шепли. Теорема Шепли.

Игры с природой.

• Понятие «природы», связь с принятием решений в условиях стохастической неопределенности.
• Основные понятия игр с природой: стратегии и «природы», вероятностные свойства «природы», выигрыш и риск.
• Характеристика риска как меры неопределенности результатов игр с природой. Проблема измерения риска.
• Методы оценки вероятностных свойств «природы»: статистические и экспертные.
• Исходные данные для формализации целеполагания в играх с природой: функции предпочтений, критерии выбора, целевые функции.
• Матрицы выигрыша и риска.
• Критерии выбора. Факторы, определяющие применение конкретного критерия выбора.
• Характеристика, анализ и сопоставление критерия выбора и решений следующих видов: равномерно-оптимальных; статистически-оптимальных; минимаксно/максиминно-оптимальных (Вальда и Сэвиджа); комбинированных (на примере критерия Гурвица).
• Характеристики критерия выбора: смысл и содержание критерия; области применения; математическое описание; применение для принятия решений по выигрышу, по риску, двухцелевого (выигрыш, риск); возможность сведения задачи принятия решения к одноцелевой; иллюстрация применения на примере простейшей матричной «игры с природой».

Многоцелевые задачи.

• Сущность многоцелевых задач.
• Основные понятия многоцелевых задач: допустимое множество альтернатив, множество целевых функций, решение задачи – множество выбранных ЛПР альтернатив.
• Концепция подхода к решению многоцелевых задач: сочетание эвристических и строгих методов, сужение области поиска решения и диалога с ЛПР, сведение к многократному решению одноцелевых задач, уступки ЛПР (большие и малые), итеративный процесс поиска решения.
• Решение многоцелевых задач в пространстве X (пространстве альтернатив) и/или в пространстве Y (пространстве значений целевых функций).
• Определение и использование оптимума Парето (эффективного множества) в пространстве X и эффективной границы в пространстве Y.
• Методы решения многоцелевых задач.