Раздел: Математические.
Категория: Высшая математика

Аналитическая геометрия

• Векторы. Линейные операции над векторами.
• Скалярное произведение векторов. Векторное произведение векторов. Смешанное произведение векторов
• Угол между векторами.
• Условие перпендикулярности и параллельности векторов.
• Векторное произведение векторов, его свойства.
• Смешанное произведение векторов. Условие комплонарности.
• Расстояние между точками
• Деление отрезка в данном отношении. Координаты середины отрезка.
• Прямая на плоскости: уравнения прямой, угол между прямыми, условия параллельности и перпендикулярности прямых, расстояние от точки до прямой.
• Прямая в пространстве: канонические, параметрические уравнения; уравнения прямой, проходящей через две данные точки. Угол между прямыми, условия параллельности и перпендикулярности прямых.
• Кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола, парабола.
• Полярная система координат.
• Плоскость в пространстве: общее уравнение, уравнение плоскости, проходящей через три данные точки. Угол между двумя плоскостями, условия параллельности и перпендикулярности плоскостей, расстояние от точки до плоскости.
• Взаимное расположение прямой и плоскости.
• Поверхности второго порядка: сфера, эллипсоид, гиперболоиды, конус, параболоиды, цилиндры. Исследование формы поверхности методом параллельных сечений, построение поверхности по ее каноническому уравнению

Линейная алгебра

• Определители матриц второго и третьего порядка. Миноры. Алгебраические дополнения.
• Разложение определителя матрицы по элементам строки (столбца).
• Матрицы. Действия над матрицами.
• Обратная матрица.
• Ранг матрицы.
• Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера, методом Гаусса и Жордано-Гаусса, матричным способом.
• Теорема Кронекера – Капелли. Базисные решения системы.
• Собственные значения и собственные векторы матрицы.
• Ортогональные и симметрические матрицы.

Комплексные числа

• Построение поля комплексных чисел.
• Изображение комплексных чисел.
• Алгебраическая форма комплексного числа.
• Тригонометрическая форма комплексного числа.
• Показательная форма комплексного числа.
• Извлечение корня из комплексного числа.

Функции

• Понятие функции. Способы задания функции. Обратная и сложная функции.
• Построение графика функций.
• Непрерывные функции. Непрерывность в точке.
• Точки разрыва. Классификация точек разрыва.

Теория пределов

• Предел последовательности. Предел функции одной переменной. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
• Предел функции в точке. Критерий Коши.
• Техника вычисления пределов.
• Первый и второй замечательные пределы.
• Сравнение бесконечно малых. Принципы замены эквивалентными.

Производная и дифференциал

• Понятие производной и дифференциала.
• Правила дифференцирования. Вычисление производных.
• Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница.
• Дифференцирование сложной функции. Производная неявной функции.
• Логарифмическое дифференцирование.
• Производная функции, заданной параметрически.
• Геометрические приложения производной.
• Механические приложения производной.
• Приближенные вычисления производных.
• Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши.
• Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя.
• Формула Тейлора.

Исследование функций и построение графиков

• Промежутки монотонности функций.
• Экстремум функции.
• Наименьшее и наибольшее значение функций.
• Выпуклость и вогнутость кривой.
• Асимпототы.
• Общая схема исследования графика функций.

Неопределенный и определенный интегралы.

• Первообразная.
• Непосредственно интегрирование.
• Интегрирование способом подстановки.
• Интегрирование по частям.
• Интегрирование функций, содержащих квадратный трехчлен.
• Интегрирование рациональных дробей.
• Интегрирование тригонометрических функций.
• Интегрирование простейших иррациональных функций.
• Формула Ньютона-Лейбница..
• Подстановки Эйлера.
• Интегрирование биномиальных дифференциалов.
• Приближенное нахождение первообразных.
• Площадь плоской фигуры.
• Длина дуги кривой.
• Объем тела вращения.
• Площадь поверхности вращения.
• Приложения определенного интеграла к решению физических задач.

Несобственные интегралы

• Несобственные интегралы и их свойства.
• Несобственные интегралы первого рода. Свойства.
• Несобственные интегралы второго рода. Свойства.

Дифференциальное и интегральное исчисление функций нескольких переменных.

• Понятие предела и непрерывности для функции двух переменных.
• Частные производные и полный дифференциал. Частные производные высших порядков.
• Экстремум функции многих переменных.
• Наибольшее и наименьшее значения функции.
• Определение и вычисление двойного интеграла.
• Двойной интеграл в полярных координатах.
• Вычисление площади плоской области.
• Вычисление объема тела с помощью двойного интеграла.
• Вычисление площади поверхности.
• Механические приложения двойного интеграла.
• Тройной интеграл. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах.
• Вычисление тройного интеграла в цилиндрических и сферических координатах.
• Вычисление объема тела с помощью тройного интеграла.
• Механические приложения тройного интеграла.
• Криволинейные интегралы первого и второго рода.

Гармонический анализ

• Метрические пространства. Нормированное пространство. Бесконечномерные евклидовы пространства.
• Полнота пространства. Банаховы,
• Гильбертовы пространства.
• Ортогональные и ортонормированные системы. Процесс ортогонализации.
• Тригонометрические ряды Фурье.

Элементы теории поля.

• Скалярные и векторные поля. Векторные линии. Поток, дивергенция, циркуляция, ротор, их гидродинамический смысл.
• Формулы Остроградского-Гаусса и Стокса. Дивергенция векторного поля.
• Потенциальное поле, свойства, нахождение потенциала.
• Соленоидальное поле, его свойства. Понятие векторной трубки.
• Гармоническое поле, его свойства.
• Оператор Гамильтона. Оператор Лапласа.

Дифференциальные уравнения.

• Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.
• Геометрические и физические задачи, приводящие к уравнениям с разделяющимися переменными.
• Однородные дифференциальные уравнения.
• Линейные дифференциальные уравнения.
• Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах.
• Уравнения Лагранжа и Клеро.
• Уравнения, не разрешенные относительно производной.
• Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка.
• Однородные линейные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами.
• Неоднородные линейные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами.
• Характеристическое уравнение.
• Общее решение дифференциального уравнения.
• Поиск частного решения линейного уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами методом неопределенных коэффициентов
• Метод вариации произвольных постоянных.
• Системы дифференциальных уравнений.

Числовые и функциональные ряды

• Понятие ряда и его сходимости.
• Необходимый признак сходимости ряда.
• Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами: признак сравнения, признак Даламбера, радикальный и интегральный признаки Коши.
• Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости Лейбница.
• Абсолютная и условная сходимость знакопеременного ряда.
• Функциональные ряды.
• Степенные ряды.
• Разложение элементарных функций в степенные ряды.
• Ряды Тейлора и Маклорена. Приложение рядов к приближенным вычислениям.
• Ряды Фурье.