Аналитическая геометрия
Вариант 8.
Задача 1. Даны координаты вершин треугольника ABC.
Требуется:
1) вычислить длину стороны BC;
2) составить уравнение стороны BC;
3) найти внутренний угол треугольника при вершине B;
4) составить уравнение высоты AK, проведенной из вершины A;
5) найти координаты центра тяжести однородного треугольника (точку пересечения его медиан);
6) сделать чертеж в системе координат.
A(4; 3), B(-3; -2), C(-7; 2).
Задача 2. Даны координаты точки A(3; 0), уравнение прямой l: 9х = 0 и число = 2:1. Найти уравнение траектории точки M, которая движется в плоскости так, что отношение ее расстояний до точки A и до прямой l равно . Сделать чертеж в системе координат.
Задача 3. Дано уравнение кривой второго порядка
Привести заданное уравнение к каноническому виду путем параллельного переноса осей координат. Определить тип кривой, найти ее характерные элементы в исходной системе координат. Изобразить на чертеже расположение кривой относительно обеих систем координат.
Задача 4. Даны уравнение кривой 2-го порядка и уравнение прямой x – 2y – 20 = 0.
Требуется:
1) привести заданное уравнение кривой 2-го порядка к каноническому виду;
2) найти точки пересечения кривой и заданной прямой;
3) построить обе линии в исходной системе координат.
Задача 5. Дано уравнение кривой в полярной системе координат (ПСК)
Требуется:
1) найти область определения функции r();
2) построить кривую в ПСК, вычислив значения функции в точках ,
k = 0, 1, …, 16, принадлежащих области определения функции r();
3) найти уравнение заданной кривой в декартовой системе координат (ДСК), начало координат в которой совпадает с полюсом ПСК, а положительная полуось OX – с полярной осью OP;
4) определить тип кривой.
Задача 6. Даны координаты точек – вершин пирамиды ABCD:
А(2; -1; 1); В(-1; -3; 2); С(-2; 3; 1); D(-1; 2; -3).
Требуется:
1) вычислить длину ребра АВ;
2) найти уравнение плоскости ABC;
3) найти угол α между гранями ABC и ВCD;
4) составить параметрические уравнения прямой AВ;
5) составить канонические уравнения высоты пирамиды DK, проведенной из вершины D;
6) найти координаты точки пересечения DK и грани ABC;
7) найти угол β между ребрами AВ и BC;
8) найти угол γ между ребром AD и гранью ABC;
9) сделать чертеж пирамиды в системе координат.