Математика

Задача 1. Даны приближенные значения величин x и y и известно, что абсолютная погрешность (х) = N/50, а относительная погрешность  (у) = N% (здесь и далее N – номер варианта). Требуется:
1) вычислить значение величины  , оценить предельную абсолютную погрешность (s) и округлить значение s в соответствии с погрешностью;
2) вычислить приближенное значение функции f (x, y) = ln(x + N)∙(N + y2),
оценить предельную абсолютную погрешность значения функции и округлить его в соответствии с погрешностью.

Задача 2. Дано уравнение N•x3 + x – N/3 = 0 (N – номер варианта). Требуется:
1)    определить число корней уравнения и найти промежутки их изоляции;
2)    вычислить значение одного из корней уравнения с точностью ε = 0,01 при помощи метода деления отрезка пополам.
Указание. Все промежуточные вычисления производить, используя не менее 4-х десятичных знаков после запятой.
Задача 3. Дана система линейных алгебраических уравнений:
  где N – номер варианта.
Требуется:
1)    решить систему методом Гаусса;
2)    вычислить определитель матрицы системы, используя метод Гаусса.
Указания. При решении системы использовать расширенную матрицу. Все промежуточные вычисления производить, используя не менее 4-х десятичных знаков после запятой. Округлить значения полученного решения x1, x2, x3, x4 до 2-x десятичных знаков после запятой.

Задача 4. Дана таблица значений функции f (x):
xi    5,3    5,7    6,1    6,5    6,9
f (xi)    2    1    0,8571    1,2    3
Требуется:
    1) по табличным данным построить для функции f (x) интерполяционный полином 4-го порядка в форме Лагранжа и привести его к стандартному виду целого многочлена;
2) используя полученный полином, вычислить приближенное значение функции f (x) в точке   = 6,3.
Указания Все вычисления производить, используя не менее 4-х десятичных знаков после запятой. Округлить полученное значение f ( ) до 3-x десятичных знаков после запятой
Задача 5. Дан определенный интеграл  . Требуется: составить таблицу значений подынтегральной функции в точках
xi = 1 + ih, где i  = 0, 1, …,10  с шагом h = 0,1 и вычислить приближенное значение интеграла, используя эту таблицу и формулу Симпсона.
Указание. Все вычисления производить, используя не менее 4-х десятичных знаков после запятой, полученный результат округлить до 3-х десятичных знаков после запятой.
Задача 6. Дана задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения:  y′ = 6x – y2,  y(0) = 0,6. Решить задачу при помощи метода Рунге-Кутты на промежутке [0; 0,5] с шагом h = 0,1.
Указание. Все вычисления производить, используя не менее 4-х десятичных знаков после запятой.
Задача 7. Температура однородного стержня U = U (х, t) в сечении х в момент времени t  удовлетворяет уравнению теплопроводности. Используя метод сеток, найти решение смешанной задачи для уравнения теплопроводности   в области   при заданных условиях: начальное распределение температуры в стержне U (х, 0) = f(x) температура на концах стержня U (0; t) = α (t), U (1,5; t) = = β (t), где f (x), α (t), β (t) – заданные функции.
Указания. Для решения использовать сетку с шагом h = 0,3 по переменной х и с шагом d = 0,015 по переменной t. Все значения функции в узлах сетки вычислять с округлением до 4-го знака после запятой.
Номер
варианта    Функция f (x)     Функция α (t)    Функция β (t)
6    f (x) =  
α (t) = t2 + t    β (t) = 1