Оптимизация

Контрольная работа 1. Классическая теория оптимизации
Раздел 1. Безусловная оптимизация. Гладкие задачи без ограничений
Постановка задачи. Пусть   – функция, обладающая некоторой гладкостью, т.е. определенными свойствами дифференцируемости,  – область определения функционала  ,  – расширенная действительная прямая.
Гладкой задачей без ограничений называется задача об отыскании экстремумов этой функции:
.                    (2.1)
Правило решения
1.    Формализовать задачу, т.е. привести ее к виду (2.1).
2.    Выписать необходимое условие экстремума:              (2.2)
где  – стационарная точка, а равенство (2.2) – условие стационарности.
3.    Найти стационарные точки, т.е. решить систему (2.2).
4.    Отыскать решение среди стационарных точек или доказать, что решения нет.
Задачи
1.1.  
1.2.  
1.3.  
1.4.  
1.5.  
1.6.  
1.7.  
1.8.  
1.9.  
1.10.  
1.11.  
1.12.  
1.13.  
1.14.  
1.15.  
1.16.  
1.17.  
1.18.  
1.19.  
1.20.  
1.21.  
1.21.  
1.23.  
1.24.  
1.25.  
1.26.  
1.27.  
1.28.  
1.29.  
1.30.  
1.31.  
1.31.  
1.33.  
1.34.  
1.35.  
1.36.  
1.37.  
Раздел 2. Гладкие задачи с ограничениями типа равенств
Постановка задачи. Пусть   – функции n переменных, отображающие пространство   в  . Конечномерной экстремальной задачей с ограничениями типа равенств называется следующая задача в  :
.
Функционал   и функции  , задающие уравнения связи  , предполагаются непрерывно дифференцируемыми (т.е. все их частные производные первого порядка непрерывны).
Правило решения
1.    Составить функцию Лагранжа
.
Числа   называют множителями Лагранжа. Причем функция, экстремум которой ищется, также должна быть домножена на неопределенный множитель. Если этого не сделать, то правило Лагранжа может оказаться неверным.
2.    Выписать необходимые условия экстремума (2.2), дополненные m уравнениями связи
  
3.    Из полученной системы алгебраических уравнений найти стационарные точки задачи, для которых существует нетривиальный набор множителей Лагранжа, т.е. не все  равны нулю,  . В задаче на минимум можно положить   или другой положительной константе. В задаче на максимум – равным минус единице или любой другой отрицательной константе.
4.    Отыскать решение среди стационарных точек или доказать, что решения нет.
Задачи
2.1.  
2.2.  
2.2.  
2.4.  
2.5.  
2.6.  
2.7.  
2.8.  
2.9.  
2.10.  
2.11.  
2.12.  
2.12.  
2.14.  
2.15.  
2.16.  
2.17.  
2.18.  
2.19.  
2.20.  

2.21.  
2.22.  
2.22.  
2.24.  
2.25.  
2.26.  
2.27.  
2.28.  
Раздел 3. Гладкие задачи с ограничениями типа равенств и неравенств
Постановка задачи. Пусть   – нормированные пространства,    
Гладкой задачей с равенствами и неравенствами называется задача:

если отображение   и функционалы   обладают некоторой гладкостью.
Правило решения
1.    Составить функцию Лагранжа
,
где   – множители Лагранжа.
2.    Выписать необходимые условия:
а) стационарности
,
где   – оператор, сопряженный к отображению  
б) дополняющие нежесткости

в) неотрицательности
.
3.    Найти критические точки, т.е. допустимые точки, удовлетворяющие условиям п. 2 с множителями Лагранжа   и  , одновременно не равными нулю.
4.    Отыскать решение среди критических точек или доказать, что решения нет.
Задачи
3.1.  
3.2.  
3.3.  
3.3.  
3.5.  
3.6.  
3.7.  
3.8.  
3.9.  
3.10.  
3.11.  
3.12.  
3.13.  
3.13.  
3.15.  
3.16.  
3.17.  
3.18.  
3.19.  
3.20.  
3.21.  
3.22.  
Раздел 4. Задачи на формализацию и
поиск экстремума.
4.1. Разделить число 8 на две части так, чтобы произведение их произведения на разность было максимально (задача Тартальи).
4.2. Найти прямоугольный треугольник наибольшей площади, если сумма длин его катетов равна заданному числу (задача Ферма).
4.3. На стороне   треугольника   найти точку   так, чтобы параллелограмм  , у которого точки   и   лежат соответственно на сторонах   и  , имел наибольшую площадь (задача Евклида).
4.4. На некоторой фиксированной грани тетраэдра берется точка, через которую проводятся плоскости, параллельные трем оставшимся граням. Выбрать точку таким образом, чтобы объем полученного параллелепипеда был максимальным (обобщенная задача Евклида).
4.4. Вписать в круг прямоугольник максимальной площади.
4.6. Вписать в круг треугольник максимальной площади.
4.7. Среди цилиндров, вписанных в шар единичного радиуса, найти цилиндр с максимальным объемом (задача Кеплера).
4.8. Вписать в единичный шар конус наибольшего объема.
4.9. Среди конусов, вписанных в шар единичного радиуса, найти конус с максимальной боковой поверхностью.
4.10. Среди треугольников данного периметра найти треугольник наибольшей площади.
4.11. Среди всех n-угольников, имеющих заданный периметр, найти n-угольник наибольшей площади (задача Зенодора).
4.12. Вписать в круг n-угольник наибольшей площади.
4.13. Дан круг радиуса единица. На диаметре АВ дана точка Е, через которую проведена хорда CD. Найти положение хорды, при котором площадь четырехугольника ABCD максимальна.
4.14. Найти в треугольнике такую точку, чтобы сумма отношений длин сторон к расстояниям от этой точки до соответствующих сторон была минимальной.
4.14. Вписать в круг треугольник с максимальной суммой квадратов сторон.
4.16. Даны угол и точка внутри него. Через эту точку провести отрезок, имеющий концы на сторонах угла, так, чтобы полученный треугольник имел наименьшую площадь.
4.17. Найти наибольшую площадь четырехугольника с заданными сторонами.
4.18. Среди сегментов шаров, имеющих заданную площадь боковой поверхности, найти сегмент наибольшего объема (задача Архимеда).
4.19. На данной прямой найти точку С, чтобы сумма расстояний от С до точек А и В была минимальной (задача Герона).
4.20. Среди всех тетраэдров с данными основанием и высотой найти тетраэдр с наименьшей боковой поверхностью.
4.21. Среди всех тетраэдров с данными основанием и площадью боковой поверхности найти тетраэдр наибольшего объема.
4.22. Среди всех тетраэдров, имеющих заданную площадь поверхности, найти тетраэдр наибольшего объема.
4.23. В эллипс   вписать прямоугольник наибольшей площади со сторонами, параллельными осям координат.
4.24. В эллипсоид   вписать прямоугольный параллелепипед наибольшего объема с ребрами, параллельными осям координат.
4.24. На эллипсоиде   найти точку, наиболее удаленную от начала координат.