теор вер

Вариант 24
1. Машинно-котельная установка состоит из двух котлов и одной
машины. Событие A  исправна машина, событие Bk, k = 1, 2  ис-
правен k-й котел. Событие C означает работоспособность машинно-
котельной установки, что будет в том и только в том случае, если
исправна машина и хотя бы один котел. Выразить события C и C
через A и Bk.
2. В компании из десяти человек решили сделать друг другу по-
дарки, для чего каждый принес подарок. Все подарки сложили вме-
сте, перемешали и случайно распределили среди участников. Найти
вероятность того, что три конкретных человека получат свой соб-
ственный подарок.
3. На линейке длиной 20 см случайно сделаны две насечки. Ка-
кова вероятность того, что растояние от первой насечки до начала
линейки превосходит расстояние от второй насечки до начала линей-
ки более, чем на 15 см?
4. Радиосигнал передается последовательно через 3 ретранслято-
ра. На каждом ретрансляторе может возникнуть помеха независимо
от остальных ретрансляторов с вероятностями 0,02, 0,03 и 0,04 соот-
ветственно. Найти вероятность получения радиосигнала без помехи.
5. Вероятность того, что изделие удовлетворяет стандарту, равна
0,95. На заводе принята система из четырех независимых испыта-
ний, каждое из которых изделие, удовлетворяющее стандарту, про-
ходит с вероятностью 0,9, а неудовлетворяющее  с вероятностью
0,4. Какова вероятность того, что наудачу взятое изделие выдержит
испытания? Какова вероятность того, что изделие, выдержавшее ис-
пытания, удовлетворяет стандарту?
6. Вероятность изготовления нестандартного изделия при нала-
женном технологическом процессе постоянна и равна 1/9. Для про-
верки изделий отдел технического контроля берет из партии изделия
одно за другим, но не более 5 изделий. При обнаружении нестандарт-
ного изделия вся партия задерживается. Найти ряд распределения,
математическое ожидание и дисперсию числа изделий, проверяемых
в каждой партии. Построить график функции распределения.
7. Высота H, которой достигает брошенный вверх мяч, опреде-
ляется по формуле H = v2/(2g), где v  скорость, с которой брошен
мяч, g  ускорение свободного падения, которое примем равным 10
м/с2. Предполагается, что v  случайная величина, распределенная
равномерно на отрезке от 10 до 20 м/с. Найти плотность распределе-
ния и математическое ожидание высоты, достигнутой мячом. Найти
вероятность того, что высота превысит 15 м.
8. В научном отделе 3 лаборатории. В первой лаборатории 6 со-
трудников и 2 исследовательских проекта, во второй 8 сотрудников
и 1 проект, в третьей  4 сотрудника и 2 проекта. Найти совмест-
ное распределение числа сотрудников и числа проектов в выбранной
наудачу лаборатории. Найти коэффициент корреляции между ними.
9. Погрешность измерений длины каждого из участков маршру-
та распределена по нормальному закону с нулевым средним и стан-
дартным отклонением 5 метров. Найти, на сколько участков можно
разбить маршрут, чтобы суммарная погрешность не превосходила по
модулю 100 метров с вероятностью 0,95.
10. Для выборки (X1, X2, . . . , Xn) из распределения с плотно-
стью распределения f(x) найти оценки параметра q > 0 по первому
моменту и методом максимального правдоподобия. Проверить состо-
ятельность полученных оценок. Плотность распределения равна
f(x) =
(
1
2q3pxe−px/q3
при x > 0;
0 при x ≤ 0.
11. Дана выборка из нормального распределения с неизвестны-
ми параметрами. Найти оценки параметров распределения. Подстав-
ляя вместо неизвестных параметров их точечные оценки, записать
выражение для оценки плотности распределения. Построить на од-
ном графике гистограмму с шагом, равным среднеквадратическому
(стандартному) отклонению, и график оценки плотности распреде-
ления.
-1,07 -0,72 -4,46 -3,24 2,42 -1,70 -1,24 -0,07 6,20 2,67 1,80 0,26
9,61 2,51 1,44 -3,65 5,50 4,17 -2,06 7,48 2,60 7,61 2,54 9,77 9,67
7,36 7,86 11,22 3,38
12. По критерию Колмогорова проверить гипотезу о том, что
выборка имеет равномерное распределение на отрезке [0; 2]. Сделать
вывод о том, принимается ли эта гипотеза на уровне доверия 0,1; на
уровне доверия 0,01; на уровне доверия 0,001.
1,06 1,44 0,70 1,33 0,74 0,61 1,03 1,25 0,85
0,81 1,04 0,76 0,80 1,55 1,61 0,82 1,70 1,63