Теория вероятностей, статистика

Задачи к теме 1

6. Покупая карточку лотереи “Спортлото”, игрок должен зачеркнуть 6 из 49 возможных чисел от 1 до 49. Если при розыгрыше тиража лотереи он угадает все 6 чисел, то имеет шанс выиграть значительную сумму денег. a) Сколько возможных комбинаций можно составить из 49 по 6, если порядок чисел безразличен? б) Чему равна вероятность угадать все шесть номеров?

7. Четыре человека случайно отбираются из 10 согласившихся участвовать в интервью для выяснения их отношения к продукции фирмы по производству продуктов питания. Эти 4 человека прикрепляются к 4 интервьюерам. а) Сколько существует различных способов составления таких групп? б) Если выбор случаен, чему равна вероятность прикрепления определенного человека к интервьюеру?


16. Выделены крупные суммы на выполнение  четырех  правительственных  программ,  сулящих  исполнителям  высокую  прибыль. а) Сколько существует способов случайного распределения  этих  четырех программ между шестью возможными  исполнителями? б) Какова  вероятность того, что средства на  выполнение  программ  при  таком распределении получат четыре исполнителя, имеющих наибольшую прибыль, причем величина выделяемых средств зависит от величины прибыли исполнителей?


Задачи к теме 2

6. В фирме 550 работников, 380 из них имеют высшее образование, а 412 - среднее специальное образование, 357 сотрудников имеют и высшее и среднее специальное образование. Чему равна вероятность того, что случайно выбранный работник имеет или среднее специальное, или высшее образование, или и то и другое?


16. О двух акциях А и В известно, что они выпущены одной и той же отраслью. Вероятность того, что акция А поднимется завтра в цене, равна 0,2. Вероятность того, что обе акции А и В поднимутся завтра в цене, равна 0,12. Предположим, что Вы знаете, что акция А поднимется в цене завтра. Чему равна вероятность того, что и акция В завтра поднимется в цене?

Задачи к теме 3


6. Исследователь рынка заинтересован в проведении интервью с супружескими парами для выяснения их предпочтений к некоторым видам товаров. Исследователь приходит по выбранному адресу и попадает в трехквартирный дом. По надписям на почтовых ящиках он выясняет, что в первой квартире живут двое мужчин, во второй - супружеская пара, в третьей - двое женщин. Когда исследователь поднимается по лестнице, то выясняется, что на дверях квартир нет никаких указателей. Исследователь звонит в случайно выбранную дверь и на его звонок выходит женщина. Предположим, что если бы исследователь позвонил в дверь квартиры, где живут двое мужчин, то к двери мог подойти только мужчина; если бы он позвонил в дверь квартиры, где живут только женщины, то к двери подошла бы только женщина; если бы он позвонил в дверь супружеской пары, то мужчина или женщина имели бы равные шансы подойти к двери. Имея эту информацию, оцените вероятность того, что исследователь выбрал нужную ему дверь.


16. Перед тем, как начать маркетинг нового товара по всей стране, компании-производители часто проверяют спрос на него по отзывам случайно выбранных потенциальных покупателей. Методы проведения выборочных процедур уже проверены и имеют определенную степень надежности. Для определенного товара известно, что вероятность его возможного успеха на рынке составит 0,75, если товар действительно удачный; и 0,15, если он неудачен. Из прошлого опыта известно, что новый товар может иметь успех на рынке с вероятностью 0,6. Если новый товар прошел выборочную проверку, и ее результаты указали на возможный его успех, то чему равна вероятность того, что это действительно так?


Задачи к теме 4


6. Хорошим считается  руководитель,  принимающий  не  менее 70 процентов правильных решений. Такому управляющему банком предстоит принять решения по четырем важным вопросам банковской политики.
а) Считая вероятность принятия правильного решения постоянной, составьте ряд распределения возможного числа правильных решений управляющего; постройте его график.
б) Найдите числовые характеристики этого распределения;
в) Запишите в общем виде функцию распределения вероятностей и постройте ее график;
г) Чему равна вероятность того, что управляющий примет менее трех правильных решений?


16. В течение часов-пик в общественном транспорте города происходит в среднем два дорожных происшествия в час. Утреннее время пик длится полтора часа, а вечернее - два часа.
а) Составьте ряды распределения числа дорожных происшествий в утренние и вечерние часы пик и постройте их графики;
б) Найдите числовые характеристики этих распределений;
в) Запишите  функции распределений вероятностей и постройте их графики;
г) Чему равна вероятность того, что в определенный день в течение и утреннего, и вечернего времени не произойдет ни одного дорожного происшествия?

17. В магазине имеется 15 автомобилей определенной марки. Среди них - 7 автомобилей черного цвета, 6 - серого и 2 - белого. Представители фирмы обратились в магазин с предложением о продаже им трех автомобилей этой марки, безразлично какого цвета.
а) Составьте ряд  распределения числа проданных автомобилей черного цвета при условии, что автомобили отбирались случайно и постройте его график;
б) Найдите числовые характеристики этого распределения;
в) Напишите  функцию распределения вероятностей и постройте ее график;
г) Какова вероятность того, что среди проданных фирме автомобилей окажется, по крайней мере, 2 автомобиля черного цвета?

Задачи к теме 5


6. Предположим, что в течение года цена на акции некоторой компании есть случайная величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием, равным 48 условным денежным единицам, и стандартным отклонением, равным 6. Чему равна вероятность того, что в случайно выбранный день обсуждаемого периода цена за акцию была:
а) более 60 условных денежных единиц?
б) ниже 60 за акцию?  
в) выше 40 за акцию?
г) между 40 и 50 условных денежных единиц за акцию?


16. Отклонение стрелки компаса из-за влияния магнитного поля  в  определенной  области  Заполярья есть случайная величина Х ~N (0; 12). Чему равна вероятность того, что абсолютная величина отклонения в определенный момент времени будет больше, чем 2,4?

Задачи к теме 6


6. Для оценки состояния деловой активности промышленных предприятий различных форм собственности были проведены выборочные бизнес-обследования и получены следующие результаты:

Интервалы значений показателя деловой активности (в баллах)    0 - 8    8 - 16    16 - 24    24 - 32
Число предприятий (акционерные общества открытого типа)    10    15    8    5

Постройте гистограмму распределения частот. Найдите среднее значение показателя деловой активности, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации. Объясните полученные результаты.


16. Таблица, приведенная ниже, содержит данные о стоимости акций Charleston Corporation в различных экономических ситуациях:

Экономическое состояние в следующем году    Вероятность того, что произойдет:    Цена за акцию
(долларов США)
Кризис    0,25    65
Снижение деловой активности    0,25    80
Умеренный рост    0,3    95
Подъем деловой активности    0,2    100

Рассчитайте среднюю стоимость акций, дисперсию и коэффициент вариации. Проанализируйте полученные результаты.    


Задачи к теме 8

6. Инженер по контролю качества  проверяет среднее время горения нового вида электроламп.  Для проверки  в порядке случайной выборки было отобрано  100  ламп, среднее время горения которых составило 1075 часов. Предположим, что среднее квадратическое отклонение времени горения для генеральной совокупности известно и составляет 100 часов. Используя уровень значимости a = 0,05, проверьте гипотезу о том, что среднее время горения ламп - более 1000 часов.
Предположим, что инженер по контролю качества не имеет информации о генеральной дисперсии и использует выборочное среднее квадратическое отклонение. Изменится ли ответ задачи?


16. Годовой оборот 4-х бирж в регионе А составил 120 тыс.у.е.; в регионе В годовой оборот 5-и бирж – 120 тыс. у.е. Исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение оборота в регионе А оказалось равным 20 тыс. у.е., в регионе В -  25тыс. у.е. Можно ли на уровне значимости a = 0,05 утверждать, что средний оборот бирж в регионе А больше, чем в регионе В?

Условия заданий в файле
http://help-s.ru/files/LU9XwKh
Задания взяты из учебника Ниворожкина, Морозова. Основы статистики с элементами теории вероятностей.

1 часть - задания к темам 1, 2, 3
2 часть - задания к темам 4,5
3 часть - задания к темам 6,8