Теория вероятностей и СМО

Задание 1. Теория вероятностей
а) Найти вероятность того, что в номере случайно выбранного в большом городе автомобиля сумма первых двух цифр равна сумме двух последних.
б) В последовательности чисел 1,2,…,n отмечено число k. Какова вероятность, что два числа, выбранные наудачу из этой последовательности, окажутся одно меньше, а другое больше, чем k?
Задание 2. Математическое ожидание и дисперсия
Плотность вероятности непрерывной случайной величины  определяется формулами

Определить параметр c и найти математическое ожидание и дисперсию слу-чайной величины .
Задание 3. Выборки, эмпирическая функция распределения, точечные оценки
Статистическое распределение случайной величины  представлено в таблице наблюденных значений. Построить гистограмму, эмпирическую функцию распределе-ния, найти точечную оценку математического ожидания, смещенной и несмещенной дисперсии и среднего квадратического отклонения. Проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности.
hi    <-3    от -3 до -1    от -1 до 1    от 1 до 3    от 3 до 5    от 5 до 7    от 7 до 9    от 9 до 11    от 11 до 13    >13
mi    4    2    8    12    18    14    14    10    6    2
Задание 5. Статистические гипотезы
Проверить гипотезу о значимости выборочного коэффициента корреляции по двумерной выборке.
xi    1    2    3    4    5    6    7    8    9    10
yi    60    28    57    47    17    34    17    27    30    55
Уровень значимости  = 0,05. Для справки: t0,05;10 = 2,23
Задание 6. Функция корреляции
Найти взаимную корреляционную функцию   и взаимную нормиро-ванную корреляционную функцию   случайной функции   и ее производной, если известно, что дисперсии случайных величин A и B равны:
DA = 3, DB = 3, коэффициент ковариации cov(A,B) = -1.
Задание 7. Стационарные случайные функции
Найти корреляционную функцию   и нормированную корреляционную функцию   случайной функции  , если известно, что дисперсии случайных величин A и B равны DA = 3, DB = 3, коэффициент ковариации cov(A,B) = -3, а математические ожидания равны нулю. Определить, является ли случайная функция стационарной. Вычислить дисперсию.
Задание 8. Передаточная функция
На вход линейной динамической стационарной системы, описываемой уравне-нием  , подается линейная случайная стационарная функция X(t) с математическим ожиданием mX = 5 и корреляционной функцией  .
Найти на выходе в установившейся системе:
1)    математическое ожидание случайной функции Y(t);
2)    корреляционную функцию выходного сигнала Y(t);
3)    спектральную плотность;
4)    дисперсию.
Задание 9. Цепи Маркова
Система может находиться в четырех различных состояниях 1,2,3 и 4. Предпо-лагается, что вероятность перехода системы pij из i-го состояния в j-е состояние на ка-ждом конкретном шаге не зависит от результатов ранее проведенных испытаний и не зависит от номера испытания. Найти вероятность перехода из 1-го состояния в 4-е со-стояние на третьем шаге и матрицу перехода П3. Известно, что p11 = 0,2; p12 = 0,4;
p14 = 0,2; p21 = 0,1; p22 = 0,3; p24 = 0,1; p31 = 0,4; p32 = 0,4; p34 = 0,1; p41 = 0,1; p42 = 0,5;
p44 = 0,1.
Задание 10. Система массового обслуживания с отказами
Интернет-провайдер в небольшом городе имеет 7 выделенных каналов об-служивания. В среднем на обслуживание одного клиента уходит 40 минут. В систему в среднем поступает 14 заказов в час. Если свободных каналов нет, следует отказ. Оп-ределить характеристики обслуживания: вероятность отказа, среднее число занятых обслуживанием линий связи, абсолютную и относительную пропускные способности, вероятность обслуживания. Найти число выделенных каналов, при котором относи-тельная пропускная способность системы будет не менее 0,95. Считать, что потоки заявок и обслуживания простейшие.
Задание 11. Система массового обслуживания с ограниченной длиной очереди
Телефонная справочная служба имеет 5 линий связи с абонентами. В среднем в час поступает 240 обращений. Средняя длительность обслуживания клиента, обра-тившегося за справкой, составляет 3 мин. Если все линии заняты, то абонент попадает в очередь (абонент слышит: «ждите ответа»). В очереди должно быть не более 6 заявок. Потоки заявок и обслуживания простейшие. Определить характеристики об-служивания справочной системы в стационарном режиме (вероятность простоя ка-налов, вероятность отказа, вероятность обслуживания, среднее число занятых кана-лов, среднее число заявок в очереди, среднее число заявок в системе, абсолютную пропускную способность, относительную пропускную способность, среднее время заявки в очереди, среднее время заявки в системе, среднее время заявки под обслуживанием).
Задание 12. Система массового обслуживания с ожиданием
В автосервисе работают  4 бригады по ремонту автомашин. В среднем за ме-сяц для ремонта поступает 10 неисправных машин. Средняя длительность ремонта машины одной бригадой составляет 5 рабочих дней. Никаких ограничений на длину очереди нет. Потоки заявок и обслуживания простейшие. Определить характеристики обслуживания автосервиса в стационарном режиме (вероятность простоя каналов обслуживания, вероятность отказа, вероятность обслуживания, среднее число занятых каналов, среднее число заявок в очереди, среднее число заявок в системе, абсолютную пропускную способность, относительную пропускную способность, среднее время за-явки в очереди, среднее время заявки в системе). Считать, что в месяце 26 рабочих дней. Определить оптимальное число мастеров в сервисном центре, если зарплата ра-бочего составляет $300, в бригаде 3 человека, доход от ремонта одной машины в среднем $300.
Задание 13. Система массового обслуживания с ограниченным временем ожиданияВ сбербанка (сберкассе) коммунальные платежи принимают 4 оператора. На обслуживание одного клиента служащий банка тратит в среднем 8 минут. В отде-ление сбербанка приходят в среднем 20 клиентов в час. Среднее количество клиентов, решивших не стоять очередь и заплатить позднее или в другом отделении сбербанка, 8 клиентов в час. Найти вероятность того, что в отделении сбербанка нет клиентов, вероятность отказа клиенту (клиент ушел, не заплатив), вероятность обслуживания, среднее число занятых операторов, среднее число клиентов в очереди, среднее число клиентов в отделении сбербанка, абсолютную пропускную способность, относи-тельную пропускную способность, среднее время клиента в очереди, среднее время клиента в отделении сбербанка, среднее время обслуживания клиента). Решение зада-чи проверить на ЭВМ.
Задание 14. Множественная корреляция
Используя метод наименьших квадратов, определить параметры линейной за-висимости z(x,y) = Ax + By + C. Найти эмпирические коэффициенты корреляции rxy, rxz, ryz, средние квадратические отклонения x, y, z. Оценить тесноту связи случайной ве-личины Z со случайными величинами X и Y, вычислив выборочный совокупный коэф-фициент корреляции R, найти частные коэффициенты корреляции rxz(y), ryz(x).
I    1    2    3    4    5    6    7    8    9    10
xi    0,0    1,0    2,0    3,0    4,0    5,0    6,0    7,0    8,0    9,0
yi    1,0    2,0    0,0    3,0    5,0    4,0    7,0    6,0    9,0    8,0
zi    -4,0    -3,0    5,0    1,0    -2,0    2,0    -3,0    4,0    -2,0    3,0
Задание 15. Ранговая корреляция
Даны ранги объектов выборки
№    1    2    3    4    5    6    7    8    9    10
xi    10    9    8    7    6    5    4    3    2    1
yi    4    5    8    1    2    3    6    7    10    9
Найти: а) выборочный коэффициент ранговой корреляции Спирмена; прове-рить гипотезу о его значимости, уровень значимости считать равным 0,01.
б) выборочный коэффициент ранговой корреляции Кендалла; проверить гипо-тезу о его значимости, уровень значимости считать равным 0,01.