№(1,2,3,4,5,6,7,8,11,14)

1. Дана функция z=f(x;y). Задания: в примерах а) и б) найдите частные производные  и дифференциал dz; в примере в) найдите частные производные   и дифференциалы dz, d .
a)
б)  
в)  

2. Даны: функция u=f(x,y,z), точки М0(х0, у0, z0), M1(x1,y1,z1) и вектор  . 1) Найдите: а) градиент функции u=f(x,y,z) в произвольной точке М(x,y,z) б) градиент функции u=f(x,y,z) в точке М0(x0,y0,z0) в) длину градиента функции u=f(x,y,z) в точке M0(x0,y0,z0) г) производную функции u=f(x,y,z) в точке М0(x0,y0,z0) по направлению вектора  
2) Рассмотрите поверхность L, заданную уравнением f(x,y,z)=0. Напишите уравнение касательной плоскости и уравнение нормали к поверхности L в точке М1(х1, у1, z1).


3. Экспериментальным путем получено 5 пар (xi, yi), i=1,2,3,4,5, значений наблюдаемых величин X и Y. Методом наименьших квадратов найдите параметры a и b в уравнении прямой y=ax+b, при которых функция  принимает наименьшее значение. Сделайте чертеж.
X    1    2    3    4    5
Y    3,5    4,5    3    1    1,5

4. Задания: а) найдите точку возможного экстремума функции u=f(x,y,z) б) вычислите второй дифференциал функции d в найденной точке(как квадратичную форму переменных dx,dy,dz) в) с помощью критерия Сильвестра выясните характер точки экстремума или докажите, что экстремума нет.


5. Найдите наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции z=f(x,y)  замкнутой области D

6. Решите дифференциальное уравнение первого порядка применяя метод разделения переменных
y’=y
7. Решите дифференциальные уравнения второго порядка с помощью характеристического уравнения. Сделайте проверку.
а) y’’+y’-6y=0
б) y’’+12y’+36y=0
8. В урне 5 красных, 6 синих и 7 желтых шаров. Наугад извлекается один шар. Найдите вероятность того, что вынутый шар – не синий.
9. В соревнованиях по бегу на 100 м участвуют 16 спортсменов, среди которых 5 мастеров спорта и один заслуженный мастер спорта. Для первого забега жеребьевкой определены 8 участников. Найдите вероятность того, что среди участников первого забега не будет ни одного мастера спорта(в т.ч. и заслуженного мастера спорта).
10. Игральный кубик подбрасывают до тех пор, пока не выпадет 6 очков. Найдите вероятность того, что кубик подбросят не более 3 раз.
11. Абитуриент подал документы на три специальности экономического факультета (на 1-ю, 2-ю, 3-ю). Но экзамен по математике для этих специальностей поставили в один день, абитуриент может пойти на экзамен только как абитуриент одной конкретной специальности. Вероятности выбора специальностей равны 0,6; 0,3; 0,1 соответственно. Из-за разной сложности работ по разным специальностям вероятности получения положительных оценок равны 0,3; 0,5; 0,7. Найдите вероятность того: 1) абитуриент получит положительную оценку 2) абитуриент выбрал 2-ю специальность, если известно, что математику он «завалил».
12. Решить задачу используя метод Бернулли и метод определения наивероятнейшего числа появления события
Партия из 100 деталей содержит 10 бракованных. Наугад извлекают 6 деталей. 1) Найдите вероятность того, что бракованных деталей будет извлечено: а) 2 б) менее 2 в) не менее 2 г) более 2 д) не более 2. 2) Найдите наивероятнейшее число извлеченных бракованных деталей.
13. Партия из 100 деталей содержит 10 бракованных. Наугад извлекают 4 детали. Случайная величина Х – число бракованных среди 4-х . Найти 1) закон распределения случайной величины Х 2) числовые характеристики случайной величины Х.
14. Функия распределения F(x) задана общей схемой:

1)    найдите плотность распределения f(x)
2)    найдите вероятность попадания в интервал Р(-3/2<X<-1/2)
3)    найдите числовые характеристики