Высшая математика

11. Гармонический анализ
№ 1 Укажите закон, описывающий гармонические колебания с амплитудой C , часто-
той p и начальной фазой a .
1) f (x) = Csin( px -a ) ; 2) ( )
( )
f x C
px a
=
-
;
3) f (x) = C px -a ; 4) f (x) = C( px -a )2 .
№ 2 Укажите аналитическое представление периодической функции y = f (x) на отрезке
0 £ x £ 4 , если ее график имеет вид.
1)
ïî
ïí
ì
- £ £
£ £
£ £
=
4, 3 4
1, 1 3
, 0 1
( )
x x
x
x x
f x ; 2)
ïî
ïí
ì
- £ £
< <
£ £
=
4 , 3 4
1, 1 3
, 0 1
( )
x x
x
x x
f x ;
3)
ïî
ïí
ì
+ £ £
< <
£ £
=
4 , 3 4
1, 1 3
, 0 1
( )
x x
x
x x
f x ; 4)
ïî ïíì
- £ £
£ £
£ £
=
3 , 3 4
1, 1 3
, 0 1
( )
x x
x
x x
f x .
№ 3 Укажите верное утверждение:
На рисунке изображен график функции y = f (x) (xÎ[-p ;p ]) с ее периодическим
продолжением.
Периодическое продолжение f (x) на всю числовую прямую является…
1) четной функцией с наименьшим периодом p ;
2) четной функцией с наименьшим периодом 2p ;
3) нечетной функцией с наименьшим периодом p ;
4) нечетной функцией с наименьшим периодом 2p .
20
№ 4 Укажите верное утверждение:
На рисунке изображен график функции ) (x f y = ÷ø ö
çè æ
- < £
2 2
3p x p с ее периодическим
продолжением.
Периодическое продолжение f (x) на всю числовую прямую является…
1) периодическое продолжение с периодом p функции f (x) имеет точки раз-
рыва второго рода;
2) периодическое продолжение с периодом 2p функции f (x) является непре-
рывным;
3) периодическое продолжение с периодом p функции f (x) является непре-
рывным;
4) периодическое продолжение с периодом 2p функции f (x) имеет точки
разрыва первого рода.
№ 5 Укажите соответствие между периодической функцией и значением ее периода.
1) y = sin 2px ; 2) 3
y = tg 2px ; 3) 3
y = cospx .
a) 3
1 ; b) 2
1 ; c) 6 ; d) 1; е) 2
3 .
№ 6 Укажите ряд Фурье для функции f (x) , график которой при xÎ[0;2p ] и его периоди-
ческое продолжение заданы на рисунке.
1) b nx
a
n
n sin
2 1
0 å
¥
=
+ ; 2) ( ) å
¥
=
+ +
1
0 cos sin
2 n
n n a nx b nx
a ; 3) nx b
n
n sin
1
å ¥
=
; 4) a nx
a
n
n cos
2 1
0 å
¥
=
+ .
№ 7 Укажите ряд Фурье для четной функция f (x) , заданной на отрезке [- 2;2].
1) å
¥
=
÷ø ö
çè æ =
+
+
1
0
2
sin
2
cos
2
( )
n
n n
a nx b nx
a
x f p p ; 2) å
¥
=
= +
1
0
2
cos
2
( )
n
n
a nx
a
f x p ;
3) å
¥
=
=
1 2
( ) sin
n
n
nx b x f p ; 4) å
¥
=
= +
1
0
2
sin
2
( )
n
n
b nx
a
f x p .
№ 8 Найдите коэффициент 0 a ряда Фурье периодической функции f (x) с периодом 2, за-
данной на отрезке [-1;1] уравнением y = x2 .
21
№ 9 Найдите коэффициент a0 ряда Фурье периодической функции f (x) с периодом 2l ,
заданной на интервале (0;2l ) соотношением
, 0
( )
0, 2
A x l
f x
l x l
ì < £
= í < < î
.