ЭММ - 8 задач

Вариант 27
Задание 1
Задание. Дать краткий ответ на один  из контрольных вопросов.
Какие объективные требования способствовали становлению экономико-математического моделирования как науки?
Задание 2 – «Построение математической модели»
Задание. Построить математическую модель следующей задачи экономической деятельности. Для этого:
1.    Выявить проблему и сформулировать цель исследования.
2.    Провести описание переменных экономического процесса или объекта.
3.    Записать математическую формулировку функции цели.
4.    Сформулировать ограничения накладываемые условиями задачи и записать систему ограничений.
5.    Предложить метод решения.
В плановом году строительные организации города переходят к сооружению домов типов Д-1 и Д-2. Данные о количестве квартир разного типа в каждом из указанных типов домов, их плановая себестоимость приведены в таблице. Годовой план ввода жилой площади составляет соответственно 550, 500, 600, 1800 и 700 квартир указанных типов. Требуется составить такой план ввода квартир, анализ которого позволит минимизировать объем капиталовложений в жилищное строительство на плановый год.
Показатели    Д-1    Д-2
Типы квартир        
однокомнатные    10    16
двухкомнатные:        
смежные    –    40
несмежные    40    –
трехкомнатные    60    20
четырехкомнатные    20    10
Плановая себестоимость, млн. руб.    650    400
Задание 3 – «Решение задач линейного программирования графическим методом»
Задание. Построить на плоскости область решений системы линейных неравенств.

и геометрически найти наименьшее и наибольшее значения линейной функции      в этой области. Координаты точек экстремума определить решением системы соответствующих уравнений.
,  
Решение: Построим область решений системы линейных неравенств.
Для этого в системе координат построим прямые  ,   и  . Как известно, прямую можно построить по двум точкам. Задавая переменной x1 произвольные значения, вычислим по указанным уравнениям соответствующие значения x2.

    
    

x1    0    2        x1    5    10        x1    0    3
Задание 5 – «Решение транспортных задач линейного программирования»
Задание.  На три станции A1, A2, A3 поступил некоторый однородный груз, который надо перевезти четырем заказчикам B1, B2, B3, B4.
Потребности заказчиков  ( в условных единицах ), количество грузов на каждой станции ( в тех же единицах) и тарифы (стоимость в рублях перевозки единицы груза с данной станции данному заказчику ) указаны в таблице.
Требуется спланировать перевозки так, чтобы общая сумма их стоимости была наименьшей.
В решении привести:
1.    Проверку сбалансированности задачи.
2.    Построение исходного опорного плана методом северо-западного угла.
3.    Построение исходного опорного плана методом минимального элемента.
4.    Построение исходного опорного плана методом аппроксимации Фогеля.
5.    Построение оптимального плана решения задачи методом потенциалов (циклы пересчета таблиц выделить цветным карандашом).
6.    Построение оптимального плана решения задачи методом дифференциальных рент.
7.    Для каждого исходного опорного  и оптимального плана привести значение функции цели.
Пункты отправления    Пункты  назначения
    В1    В2    В3    В4    Запасы
A1    21    18    14    3    350
A2    7    11    10    5    450
A3    4    8    16    7    400
Потребности    300    280    330    290    
Задание 6 – «Решение транспортных задач линейного программирования»
Задание. Три завода, расположенных в Москве,  Санкт-Петербурге и Перми, производят некоторую продукцию, которую надо отгрузить в пять городов для реализации.
Потребности заказчиков, запасы готовой продукции и расстояния в сотнях километров указаны в таблице.
Стоимость перевозок считается пропорциональной расстоянию и количеству перевозимого груза.
Требуется спланировать перевозки так, чтобы общая их стоимость была минимальной.
В решении привести:
1.    Проверку сбалансированности задачи.
2.    Построение исходного опорного плана методом северо-западного угла.
3.    Построение исходного опорного плана методом минимального элемента.
4.    Построение исходного опорного плана методом аппроксимации Фогеля.
5.    Построение оптимального плана решения задачи любым методом
6.    Для каждого исходного опорного  и оптимального плана привести значение функции цели.
Пункты отправления    Пункты   назначения    Запас (ваг.)
    Тверь    Псков    Тула    Киров    Уфа    
Москва    3    7    3    9    15    170
Санкт-Петербург    5    3    10    12    20    120
Пермь    18    15    11    16    19    110
Потребности  (ваг.)    90    70    90    80    70    400
Решение: Проверим выполнение условия:  .
170 + 120 + 110 = 400;  90 + 70 + 90 + 80 + 70 = 400.
Таким образом, количество производимой продукции равно потребности в
Задание 7 – «Определение оптимума функции классическим методом»
Задание. Определить имеет ли заданная функция глобальный оптимум. Определить вид экстремума. Построить графическое изображение функции в окрестностях оптимума. Для этого:
1.    Найти стационарные точки функции.
1.1.    Найти выражения для частных производных;
1.2.    Приравнять частные производные к нулю, решить полученную систему нелинейных уравнений и найти координаты стационарных точек функции (x, y);
2.    Исследовать стационарные точки на наличие в них экстремума функции:
2.1.    Найти выражения для частных производных второго порядка, включая выражения для смешанных производных;
2.2.    Построить матрицу производных второго порядка М(x, y);
2.3.    Вычислить определитель матрицы М в каждой стационарной точке и сделать вывод о наличии экстремума функции в этих точках;
2.4.    Выделить диагональные миноры из матрицы М, вычислить их в каждой стационарной точке, где функция имеет экстремум и определить вид экстремума (минимум или максимум).
3.    Построить двухкоординатные графики исследуемой функции меняя один из аргументов и задавая значение второго равное координате стационарной точки. По каждому из аргументов построить отдельный график.
z(x, y) = 5,8x3 + 6,5xy +5,55y2 + 0,1x
Задание 8 – «Построение и исследование сетевых моделей»
Задание. Составить сетевую модель по заданным исходным данным. Проверить правильность составления модели и определить временные характеристики построенной модели.
Пояснения должны содержать:
1.    Исходные данные.
2.    Граф сетевой модели.
3.    Таблицы с описанием событий и работ сетевой модели.
4.    Проверку правильности составления сетевой модели с использованием матрицы смежности и матрицы путей. Выводы по результатам проверки.
5.    Прадерево сетевой модели с указанием всех полных путей, таблицу полных путей и их длины. Выводы о критическом пути.
6.    Таблица временных параметров событий сетевой модели.
7.    Таблица временных параметров работ сетевой модели. Дать подробное описание расчета всех параметров для одной из работ, не лежащей на критическом пути.
8.    Расчет временных параметров на графе.
9.    Построить диаграммы Ганта, учитывая, что все работы выполняются работниками трех бригад по следующей схеме:

№ бригады    Количество рабочих    Перечень выполняемых работ
1    5    AB, BC, BE, CF, DL, FG, EL
2    7    AC, BF, CD, DC, FL, GK, LK
3    11    AD, CB, DF, FE, EK, GL
Данные об объемах работ  приведены в таблице 1.
AB    AC    AD    BC    BF    BE    CB    CD    CF    DC    DF    DL
15    6    3    8    0    6    –    16    8    –    10    –
FE    FG    FL    EK    EL    GK    GL    LK
9    4    11    10    –    5    3    9