Теория вероятностей Вариант 1 (20 задач)

Теория вероятностей Вариант 1 (20 задач)



    1. Ваша фамилия записана на карточках (по одной букве на карточке). Карточки перемешали и наугад выкладывают по одной слева направо. Какова вероятность того, что снова получится ваша фамилия.

    2. Рабочий обслуживает 3 станка. Событие, заключающееся в том, что в течение часа первый станок потребует внимание рабочего – A1, второй – A2, третий – A3. Выразить через Ai следующие события:
A – два станка потребуют внимания рабочего;
B – хотя бы один станок не потребует внимания;
C – ни один станок не потребует внимания.

    3. Эксперимент состоит в подбрасывании двух правильных шестигранных игральных костей. Наблюдаемый результат – пара чисел, соответствующих числам очков, выпавших на верхних гранях двух костей. Описать пространство элементарных событий и найти вероятности следующих событий:
а) сумма выпавших очков равна 7;
б) сумма очков равна 5, а произведение 6;
в) сумма очков не превышает 4;
г) разность очков меньше 3;
д) сумма очков расположена в промежутке [4; 7].

    4. В электросеть включены лампочки, соединённые между собой следующим образом:
а)
  
б)
  
в)
  
    Вероятность безотказной работы i-й лампочки 0,6. Найти вероятность безотказной работы цепи.

    5. В ящике 10 деталей, среди которых 4 бракованных. Сборщик наудачу извлекает 3 детали. Найти вероятность того, что:
а) извлечённые детали качественные;
б) среди извлечённых 2 бракованные.

    6. Вероятность попадания стрелком в мишень при одном выстреле равна 0,9. Найти вероятность того, что при 4-х выстрелах стрелок попадёт:
а) не более 3 раз;
б) ни одного раза;
с) хотя бы один раз.

    7. Брошены 3 игральные кости. Найти вероятность того, что:
а) на каждой из выпавших граней появится 1 очко;
б) на всех выпавших гранях появится одинаковое число очков;
в) сумма выпавших очков не превысит 5.

    8. В урне имеется 8 белых и 12 чёрных шаров. Наудачу по одному извлекают 3 шара без возвращения. Найти вероятность того, что все 3 извлечённых шара будут чёрными.

    9. В первой урне содержится 8 шаров, из них 2 белых, во второй урне 10 шаров, из них 7 белых. Из первой урны наудачу извлекли один шар и переложили во вторую. Найти вероятность того, что извлечённый после этого шар из второй урны окажется белым.

    10. Внутри квадрата со стороной 6 расположен круг диаметра 6. В квадрат наудачу бросается точка. Какова вероятность того, что точка попадёт в область, ограниченную квадратом и окружностью.

    11. Из 1000 ламп 200 принадлежат 1-й партии, 300 – 2-й партии, остальные – 3-й партии. В первой партии 6 %, во второй 5 %, в третьей 4 % бракованных ламп. Наудачу выбирается одна лампа. Определить вероятность того, что выбранная лампа – бракованная.

    12. Монета бросается до тех пор, пока герб не выпадет 3 раза. Определить вероятность того, что цифра выпадет 2 раза.

    13. Вероятность выигрыша в лотерею на один билет равна 0,3. Куплено 10 билетов. Найти наивероятнейшее число выигравших билетов и соответствующую вероятность.

    14. Вероятность наступления некоторого события в каждом из 100 независимых испытаний равна 0,8. Определить вероятность того, что число m наступлений события удовлетворяет неравенству 80 < m < 90.

    15. Вероятность того, что стрелок попадает в мишень при одном выстреле, равна 0,75. Составить закон распределения дискретной случайной величины X числа попаданий в цель при 5-ти выстрелах. Найти M(X), D(X), S(X).

    16. Станок-автомат штампует детали. Вероятность того, что изготовленная деталь окажется бракованной, равна 0,01. Составить закон распределения случайной величины Х – числа бракованных деталей среди 800 изготовленных станком, пренебрегая значениями X, вероятность которых меньше 0,005. Найти M(X), D(X), S(X).

    17. Среднее число вызовов, поступающих на АТС в одну минуту, равно 2. Найти вероятность того, что за 3 минуты поступит:
а) 4 вызова;
б) менее 4 вызовов;
в) не менее 4 вызовов.
    Поток вызовов предполагается Пуассоновским.

    18. Непрерывная случайная величина X распределена по показательному закону с плотностью распределения вероятностей:

    Найти F(x), М(X), D(X), S(X), P(0,1 < X < 0,35). Построить графики f(x) и F(x).

    19. Случайная величина X распределена по нормальному закону с плотностью:
.
    Найти вероятности  P(-4 < X < 3),  P(-2 < X < 1).

    20. Производится взвешивание некоторого вещества без систематических ошибок. Случайные ошибки взвешивания подчинены нормальному закону со средним квадратичным отклонением 20 г. Найти вероятность того, что взвешивание будет произведено с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине 10 г.