Методы и модели в экономике

Задача 1.
При производстве двух видов продукции используется 4 типа ресурсов. Норма расхода ресурсов на производство единицы продукции, общий объем каждого ресурса заданы в таблице.
Ресурсы    Норма затрат ресурсов на товары    Общее количество ресурсов
    1-го вида    2-го вида    
1    2    2    12
2    1    2    8
3    4    0    16
4    0    4    12
Прибыль от реализации одной единицы продукции первого вида составляет 2 ден. ед., второго вида – 3 ден. ед.
Задача состоит в формировании производственной программы выпуска продукции, обеспечивающей максимальную прибыль от её реализации.
Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к её элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на минимум, и почему?
Задача 2.
Для изготовления четырех видов продукции используют три вида сырья. Запасы сырья, нормы его расхода и цены реализации единицы каждого вида продукции приведены в таблице.
Тип сырья    Нормы расхода сырья на одно изделие    Запасы сырья
    А    Б    В    Г    
I    2    4    0    8    12
II    7    2    2    6    8
III    5    8    4    3    48
Цена изделия    3    4    3    1    
Требуется:
1.    Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.
2.    Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.
3.    Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.
4.    На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:
-    проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;
-    определить, как изменятся выручка и план выпуска продукции при увеличении запасов сырья I вида на 2 единицы и уменьшении на 1 ед. запасов сырья II вида;
-    оценить целесообразность включения в план изделия «Д» ценой 6 ед., если нормы затрат сырья 8, 2 и 3 единицы.
Задача 3
Задана матрица коэффициентов прямых затрат трех отраслей A = (aij) и вектор конечной продукции.
Отрасли    Коэффициенты прямых затрат aij    Конечный продукт Y
    1    2    3    
1    0,1    0,3    0,2    36
2    0,2    0,2    0,3    11
3    0,1    0,1    0,4    8
Требуется:
а)    проверить продуктивность матрицы A,
б)    построить баланс производства и распределения продукции отраслей.
Задача 4.
В течение девяти последовательных недель фиксировался спрос y(t) (млн. р.) на кредитные ресурсы финансовой компании.
t    1    2    3    4    5    6    7    8    9
y(t)    50    48    47    45    42    40    38    37    34
Требуется:    
1) Проверить наличие аномальных наблюдений.
2) Построить линейную модель    , параметры которой оценить МНК (  - расчетные, смоделированные значения временного ряда).    
3) Оценить адекватность построенной модели, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S-критерия взять табулированные границы 2,7–3,7).
4) Оценить точность модели на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.
5) По построенной модели осуществить прогноз спроса на следующие две недели  (доверительный интервал прогноза рассчитать при доверительной вероятности р = 70%).
6) Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически.