Эконометрика - 4 задачи

Задание 1. Построение моделей парной линейной регрессии и оценка качества построенной модели
1.    Для заданных исходных данных построить поле корреляции – диаграмму зависимости показателя y от фактора x:
2.    Вычислить коэффициенты выборочной линейной регрессии. Записать уравнение выборочной регрессии, дать ему экономическую интерпретацию.
3.    Вычислить по уравнению выборочной регрессии значения   и построить на корреляционном поле прямую выборочной линейной регрессии.
4.    Вычислить остатки   и построить график остатков.
5.    Найти величину средней ошибки аппроксимации  .
6.    Проверить статистическую значимость полученных значений коэффициентов регрессии и коэффициента корреляции для доверительных вероятностей 0,05 и 0,01.
7.    Проверить значимость в целом полученного уравнения регрессии по критерию Фишера.
8.    Вычислить доверительные интервалы параметров линейной регрессии. Дайте им экономическую интерпретацию.
9.    Построить точечный прогноз значения y при значении x в 2 раза больше, чем среднее значение x.
10.    Вычислить стандартные ошибки прогноза функции регрессии и индивидуального значения и доверительные интервалы полученных прогнозов. Дать им экономическую интерпретацию.
11.    Оценить полученные результаты – сделать выводы о качестве построенной модели, оценить влияние фактора на показатель, дать интерпретацию коэффициентам выборочной регрессии, коэффициенту детерминации, коэффициенту корреляции, доверительным интервалам, прогнозам. Следует ли использовать полученное уравнение для прогнозирования?
Задание 2. Построение модели множественной линейной регрессии и оценка качества построенной модели
1.    Построить множественную линейную регрессию на все факторы.
2.    Записать полученное уравнение в развернутом виде, дать экономическую интерпретацию коэффициентам при факторах.
3.    Проверить статистическую значимость коэффициентов и всего уравнения в целом. Сделать выводы о качестве модели и спецификации (составе объясняющих переменных).
4.    Для статистически значимых коэффициентов построить доверительные интервалы. Дать им интерпретацию.
5.    Вычислить скорректированный коэффициент детерминации. Вычислить среднюю абсолютную ошибку аппроксимации. Сделать выводы о качестве построенной регрессии.
6.    Построить матрицу выборочных парных коэффициентов корреляции. Вычислить  . Сделайте вывод о наличии или отсутствии проблемы мультиколлинеарности.
7.    Вычислить частные коэффициенты корреляции между факторами и зависимой переменной, сравнить их с парными. Вычислить частные средние коэффициенты эластичности и стандартизованные коэффициенты регрессии. Сделать выводы о силе влияния факторов на показатель.
8.    Если среди коэффициентов есть статистически незначимый – проверить целесообразность его исключения из регрессии с помощью частного F-теста (если незначимых факторов несколько или все коэффициенты статистически значимые, то выбрать фактор для проверки произвольно).
9.    Построить точечный прогноз значения показателя при значениях факторов, на 30% превышающих их средние значения.
10.    Вычислить стандартные ошибки прогноза функции регрессии и индивидуального значения и построить доверительные интервалы полученных прогнозов.
11.    Дайте интерпретацию построенным прогнозам и их доверительным интервалам.
Задание 3. Проверка гипотезы гомоскедастичности (Критерий Голдфелда-Квандта). Проверка гипотезы о наличии автокорреляции (Критерий Дарбина Уотсона).
Критерий Голдфелда-Квандта
1.    Построить диаграмму корреляционного поля. Построить парную линейную регрессию и диаграмму остатков (квадратов остатков) для исходной выборки – сделать предположения о наличии гетероскедастичности.
2.    Прежде всего, нужно упорядочить выборку по возрастанию значений объясняющей переменной x .
3.    Полученная упорядоченная выборка разбивается на три части: первая и последняя содержат по l наблюдений, средняя – m = n –2l наблюдений. Далее рассматриваются только две части: l первых (с небольшими значениями объясняющей переменной   и l последних (с большими значениями объясняющей переменной,  ) наблюдений, а m центральных наблюдений исключаются из рассмотрения. При этом должно быть выполнено условие  .
4.    По каждой выборке построить свое уравнение выборочной парной регрессии. Для построения парных регрессий можно использовать функцию LINEST/ЛИНЕЙН.
5.    Вычислить остаточные суммы квадратов для каждой выборки   – для первой выборки,   – для второй выборки.
6.    Вычислить отношение   и сравнить с табличным значением Fтабл. Значение Fтабл определяется по таблице распределения Фишера со степенями свободы   и   на 5% уровне значимости  .
7.    Сделать вывод о принятии или отклонении гипотезы гомоскедастичности наблюдений.
Критерий Дарбина Уотсона
1.    Постройте поле корреляции.
2.    Используя функцию ЛИНЕЙН, найти коэффициенты выборочной парной линейной регрессии  
3.    Проверить значимость построенной регрессии.
4.    Вычислить остатки и построить график остатков в зависимости от фактора.
5.    Вычислить статистику Дарбина–Уотсона по формуле  
6.    Используя таблицу критических значений критерия Дарбина–Уотсона, сделать вывод о наличии или отсутствии значимой автокорреляции в остатках. Наличие автокорреляции означает неадекватность построенной парной регрессии истинной зависимости и недостаточность построенной парной регрессии для прогнозирования.
7.    Вычислить коэффициент автокорреляции первого порядка r1 между рядами значений e2,e3,…,en и e1,e3,…,en-1 с помощью функции КОРЕЛЛ и сравнить его со значением критерия Дарбина–Уотсона: должно быть выполнено соотношение d  2(1 – r1). Убедиться, что вычисление по формуле   дает только приближенный результат.
Задание 4. Построение моделей нелинейной регрессии
В этой работе для одних и тех же исходных данных необходимо построить различные регрессии. В каждом случае необходимо вычислить коэффициенты регрессии, построить линию регрессии на корреляционном поле (на одном и том же), проверить статистическую значимость линеаризованной формы, вычислить среднюю ошибку аппроксимации  , среднее абсолютное значение  , коэффициент (индекс) детерминации – эти результаты удобно свести в таблицу.

Размер дивидендов, руб.    Доходность акции, %    Доход компании, млн. руб.    Инвестиции в расширение и модернизацию, млн. руб.
y    x1    x2    x3
45,64    6,41    90,68    10,62
43,98    5,66    89,10    10,33
53,56    6,23    89,77    5,09
51,47    6,87    90,82    5,65
49,64    5,15    90,74    5,20
46,21    5,30    90,63    9,47
46,33    7,45    90,73    11,83
46,48    6,09    89,85    10,17
50,13    7,27    93,49    11,78
47,89    5,17    89,86    7,20
48,45    6,62    90,02    8,45
51,57    5,96    93,76    9,18
48,27    6,61    91,88    12,61
51,11    5,88    87,93    6,40
45,02    6,09    88,70    11,77
41,53    4,83    89,05    11,43
48,16    6,22    96,35    12,02
52,46    6,93    93,29    9,86
52,42    6,64    86,66    6,43
41,94    4,01    90,40    9,92
44,74    7,32    82,13    9,15
44,23    4,74    83,07    6,29
43,54    5,42    86,28    12,53
48,77    3,77    95,91    9,06
49,27    6,84    90,52    8,46
48,52    6,45    89,65    9,04
51,42    5,48    91,05    7,92
46,13    5,46    89,12    10,61
48,25    5,52    86,93    9,00
53,70    7,39    94,22    4,81
52,97    6,23    98,90    8,15
43,63    5,16    88,78    10,80
52,43    6,84    91,75    8,61
42,44    5,27    88,73    11,92
45,64    4,85    85,03    9,14
44,10    6,65    85,71    9,52
50,77    7,35    89,97    9,28
42,15    4,87    85,15    7,72
44,66    5,89    90,35    10,02
45,80    6,17    81,99    9,11
43,52    5,51    85,33    10,58
44,13    5,34    86,01    11,08
45,51    5,22    89,72    8,25
48,21    6,13    89,64    8,79
46,97    6,21    90,83    9,81
48,67    6,81    93,44    12,60
47,91    6,16    88,20    8,94
51,21    6,24    95,57    9,58
50,85    5,69    98,61    9,40
44,01    4,88    93,87    10,96