Алгебра ДВФУ

ДВФУ Вар 16 (есть другие варианты)
КР1
1)    Найдите каноническое представление числа:
а) 29032549;        б) 32!.
2)    Найдите наибольший общий делитель систем чисел:
а) 192329 и 21627 (по алгоритму Евклида);
б) 203093, 33660 и 110110 (через каноническое представление).
3)    Найдите наименьшее общее кратное систем чисел:
а) 284 и 532 (по формуле);
б) 25, 35, 45 и 15 (через каноническое представление чисел).
4)    Найдите число делителей, сумму делителей и значение функции Эйлера для числа n = 12400.
5)    Составить таблицы сложения и умножения по модулю 9.
6)    Найти все трехзначные числа, каждая цифра которых является их простым делителем.    
7)    Решите сравнение:
а)  , б)  .
8)    Решите систему сравнений:  
9)    Докажите, что при любом натуральном n число   делится на 7.
10)    Докажите, что если число делится на 99, то сумма его цифр не менее 18.

КР2
1)    Вычислите: а) ;    б) .
2)    Найдите, при каких комплексных значениях k уравнение   имеет разные корни.
3)    Вычислите, используя тригонометрическую форму записи комплексного числа:
а)  ;    б)  
4)    Решите уравнения: а) ,    б) .
5)    Докажите, что  .
6)    Изобразите на плоскости множество всех точек, для которых  .
7)    Выразите  через  .
8)    Найдите сумму:  .

КР3
1)    Разложите многочлен   на множители.
2)    Найдите наибольший общий делитель двух многочленов и его линейное представление:  и  .
3)    Отделите кратные множители:
4)    Решите уравнение 3 степени:  .
5)    Решите уравнение 4 степени:  .
6)    Для многочлена   определите кратность корня с=-1.
7)    Разложите многочлен   по степеням  .
8)    Найдите многочлен наименьшей степени с комплексными коэффициентами, имеющий тройной корень 7-i, двойной корень 5-i, простые корни i и 2.
9)    При каком условии   делится на  ?
10)    Запишите в лексикографическом виде:  .
11)    Выразите через элементарные симметрические многочлены:  .
12)    Представьте в виде суммы простейших дробей над полем действительных чисел:  .

КР4
1)    Как изменится определитель n-го порядка, если i-ую строку переставить на последнее место, а (i+1)-ю и все последующие строки передвинуть вверх, сохраняя их расположение?
2)    Выполните умножение подстановок:
3)    Вычислите определители:
а)     б) .
4)    Вычислите определитель, пользуясь теоремой Лапласа:
5)    Вычислите определители:
а)     б) .
6)    Вычислите определитель, применяя метод рекуррентных соотношений:.
7)    Найдите все матрицы второго порядка, кубы которых равны нулевой матрице.
8)    Вычислите:
9)    а)  ; б) ; в) .
10)    Решите матричное уравнение:

КР5.
Задание 1. Показать, что векторы  ,  ,   образуют базис и найти координаты вектора   в этом базисе.
Задание 2. Даны два базиса пространства строк:   и  . Найти:
а) матрицу А перехода от базиса   к базису  ;
б) матрицу   обратного перехода;
в) координаты   в обоих базисах;
г) координаты вектора   в базисе  , имеющего во втором базисе координаты (1, 1, 1).
Задание 3. Применить процесс ортогонализации к системе векторов.
Задание 4. Решить систему линейных уравнений: 1) методом Гаусса; 2) по формулам Крамера; 3) матричным методом.
Задание 5. Исследовать совместность данной системы и, в случае ее совместности, найти общее решение и одно частное решение.
Задание 6. Найти общее решение однородной системы линейных уравнений и фундаментальную систему решений.
Задание 7. Привести квадратичную форму к каноническому виду при помощи невырожденного линейного преобразования неизвестных. Найти невырожденное преобразование, приводящее форму к каноническому виду.
Задание 8. Найти ортогональное преобразование, приводящее следующие формы к каноническому виду (приведение к главным осям), и написать этот канонический вид.
Задание 9. Построить канонический базис и найти каноническую форму Жордана следующих матриц.