Тема: «Экономико-математические модели»

Задача 1. Совхоз для кормления животных использует два вида корма. В дневном рационе животного должно содержаться не менее 6 единиц питательного вещества А и не менее 12 единиц питательного вещества В. Какое количество корма надо расходовать ежедневно на одного животного, чтобы затраты были минимальными? Использовать данные таблицы:
Корма    Количество питательных веществ в 1 кг корма
Питательные вещества    1    2
А    2    1
В    2    4
Цена 1 кг корма, т. руб.    0,2    0,3
Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на максимум и почему?
Задача 2. Для изготовления четырех видов продукции используют три вида сырья. Запасы сырья, нормы его расхода и цены реализации единицы каждого вида продукции приведены в таблице.
Тип сырья    Нормы расхода сырья на одно изделие    Запасы сырья
    А    Б    В    Г    
I    1    0    2    1    180
II    0    1    3    2    210
III    4    2    0    4    800
Цена изделия    9    6    4    7    
Требуется:
1.    Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.
2.    Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.
3.    Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.
4.    На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:
-    проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;
-    определить, как изменятся выручка и план выпуска продукции при увеличении запасов сырья II и III вида на 120 и 160 единиц соответственно и уменьшении на 60 единиц запасов сырья I вида;
-    оценить целесообразность включения в план изделия "Д" ценой 12 ед., на изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида сырья.
Задача 3. Задана матрица коэффициентов прямых затрат трех отраслей A = (aij) и вектор конечной продукции Y.
Отрасли    Коэффициенты прямых затрат aij    Конечный продукт Y
    1    2    3    
1    0,0    0,1    0,2    180
2    0,1    0,2    0,1    200
3    0,2    0,1    0,2    200
Требуется:
а)    проверить продуктивность матрицы A,
б)    построить баланс производства и распределения продукции отраслей.
Задача 4. В течение девяти последовательных недель фиксировался спрос Y(t) (млн. р.) на кредитные ресурсы финансовой компании:
t    1    2    3    4    5    6    7    8    9
yt    43    47    50    48    54    57    61    59    65
Требуется:    
1)    Проверить наличие аномальных наблюдений.
2)    Построить линейную модель    , параметры которой оценить МНК (  – расчетные, смоделированные значения временного ряда).    
3)    Оценить адекватность построенных моделей, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S-критерия взять табулированные границы 2,7–3,7).
4)    Оценить точность моделей на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.
5)    По построенной модели осуществить прогноз спроса на следующие две недели  (доверительный интервал прогноза рассчитать при доверительной вероятности р = 70%).
6)    Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически.