Теория вероятностей

Вариант 10.
Задание 1.1. Терминология и определения.
z1.1.10. Опыт состоит в подбрасывании один раз правильной шестигранной кости. Обозначим Х число очков, выпавших на верхней грани.
Пусть задан следующий набор событий:
А2 = {Х нечетно}; А3 = {Х – простое число}; А5 = {Х принадлежит первой половине}; А8 = {Х меньше 3}.
    Требуется среди них указать и назвать следующие: достоверное, невозможное, противоположное какому-либо, пару совместных и пару несовместных, полную группу из двух событий, из одного события следует другое, сумму двух событий, произведение двух событий, разность двух событий, пару зависимых и пару независимых событий.
Задание 1.2. Доказательство равенства множеств или верности высказываний с помощью таблиц истинности
z1.2.10. A∩B=A\(A\B).  
Задание 2.1. Классическая схема вычисления вероятностей.
z2.1.10. Из колоды в 36 карт сдают 3 карты. Какова вероятность того, что они будут одной масти?
z2.1.18. Числа 1,2,...,9 записываются в случайном порядке. Какова вероятность того, что на трех последних местах будут стоять числа 3, 6, 9?
z2.1.26. Телефонная книга раскрывается наудачу и выбирается случайно номер телефона. Какова вероятность того, что 4 последние цифры номера одинаковы?
z2.1.08. Среди кандидатов в совет института – 3 второкурсника, 5 третьекурсников и 7 студентов со старших курсов. Какова вероятность того, что среди 5 случайно отобранных студентов будет один со второго, два с третьего и двое со старших курсов?
Задание 3.1. Геометрическая схема вычисления вероятностей.
z3.1.10. Из области 0<y<4-x^2 наугад выбирается точка M(x, y). Найти
P(y<3|x|).
z3.1.19. Какова вероятность того, что произведение двух наугад взятых правильных положительных дробей будет меньше 1/8?
Задание 3.2. Вычисление вероятностей с использованием формул сложения и умножения вероятностей.
z3.2.10. В первой урне 6 белых и 6 синих шаров, во второй 5 белых и 3 синих. Наугад из каждой урны берут по 2 шара. Найти вероятность того, что все шары одинакового цвета.
z3.2.20. Система состоит из четырех элементов, причем А и В соединены параллельно, а к ним последовательно присоединен блок из элементов C и D, также соединённых между собой параллельно. Надежность любого элемента – 0,6. Составить схему соединения элементов и найти надежность системы.
Задание 4.1. Формула полной вероятности.
z4.1.10. При помещении в урну тщательно перемешанных 10 шаров (4 белых и 6 черных) 1 шар неизвестного цвета затерялся. Из оставшихся в урне девяти шаров наугад вынимают 1 шар. Какова вероятность того, что вынутый шар окажется белым?
z4.1.19. Из 12 стрелков 5 попадают в мишень с вероятность 0,8; 3 – с вероятностью 0,7; 2 – с вероятностью 0,6; 2 – с вероятностью 0,5. Какова вероятность того, что в мишени нет ни одной пробоины?
Задание 4.2. Формула Байеса.
z4.2.10. На фабрике, изготовляющей детали, первая машина производит 25%, а вторая – 35 %, третья – 40 % всех изделий. В их продукции брак составляет соответственно 5%, 4% и 2%. Случайно выбранная деталь оказалась дефектной. Какова вероятность того, что деталь была произведена первой машиной?
z4.2.19. Приборы выпускают 3 завода в количественном отношении 3:3:4, причем вероятности брака для этих заводов соответственно равны 0,1; 0,2; 0,2. Два наугад отобранных прибора оказались годными. Какова вероятность того, что прибор выпущен третьим заводом?Задание 5.1. Случайная величина дискретного типа.
z5.1.10. Случайная величина Х имеет биномиальное распределение с параметрами р = 0,6; n = 3. Найти и изобразить случайную величину Х; таблицу и график закона распределения; функцию распределения и ее график. Найти m, d, D, σ; P{m – σ ≤ X< m + σ}, P{X ≥ m}.
Задание 6.1. Случайная величина непрерывного типа.
z6.1.10. Случайная величина Х с точностью до константы имеет плотность распределения
f(x)={(C/(x+1)^2 ,x≥0,@0,                        x<0.)┤
Найти m_x, d_x, h_x, D_x, σ_x, P{〖X≥m〗_x}, P{X<h_x/2}. Найти плотность и функцию распределения случайной величины Z=√X.
Задание 7.1. Двумерная случайная величина.
Найти закон распределения случайного вектора (X, Y) (таблицу закона распределения для дискретного случайного вектора и плотность распределения f_XY (x,y), f_X (x), f_Y (y) компонент X и Y для непрерывного случайного вектора). Проверить, зависимы или нет компоненты X и Y. Найти основные числовые характеристики случайного вектора: m_x, m_y, D_x, D_y, σ_x, σ_y, K_xy,  ρ_xy. Вычислить вероятность события  {X≥Y}.
z7.1.10. Выбирают 2 раза с возвращением и без упорядочивания карточки, пронумерованные числами от 1 до 4. Случайная величина Х – модуль разности номеров в первом и втором наборе. Случайная величина Y – число нечетных номеров в каждой паре.
z7.1.25. Двумерный случайный вектор (X, Y) имеет плотность распределения вероятностей f(x,y) = Cy в области
D={(x,y)│-1≤x≤0,0≤y≤x+1}.