Теория вероятностей

Вариант 10.
10.10. Найти надежность системы, состоящей из 5 независимых элементов с надежностями:      
10.20. В системе m исправных элементов и n неисправных. Случайным образом проверяют 2 элемента. Какова вероятность того, что проверенные элементы: а) оба исправны; б) оба не исправны; в) один исправен, а второй – не исправен?
m = 7, n = 4.
10.30. Производительность первого конвейера в k раз больше, чем второго. Первый конвейер допускает p% брака, второй q% брака. Детали с обоих конвейеров поступают на склад.
1. Какова вероятность того, что случайно взятая со склада деталь будет стандартна?
2. Какова вероятность того, что случайно взятая со склада деталь будет не стандартна?
3. Случайно выбранная на складе деталь оказалась стандартной. Какова вероятность того, что деталь изготовлена на первом конвейере, на втором конвейере?
k = 4, p = 10%, q = 5%.
10.40. В первом ящике находится N деталей, из которых M – стандартны. Во втором ящике находится n деталей, из которых m стандартны. Без проверки на стандартность перекладывается из первого ящика во второй k деталей. Какова вероятность того, что случайно взятая из второго ящика деталь будет:
а) стандартна; б) не стандартна?
N = 100,  M = 85,  n = 200,  m = 90,  k = 2
10.50. Система состоит из n элементов с одинаковой вероятностью Р их безотказной работы. Полагая, что μ – количество исправных элементов, найти вероятности событий: μ = m; μ < m;         μ < n.
а) Р = 90%; n = 10; m = 5; m1 = 3; m2 = 6;
б) Р = 90%; n = 500; m = 302; m1 = 282; m2 = 321.
10.60. Дискретная случайная величина задана таблицей. Найти неизвестную вероятность рi, математическое ожидание M(X) и вероятность попадания случайной величины в интервал (α ≤ Х < β).
хi    –8    –2    0    1    3
рi    0,1    0,1    0,2    0,1    р5
α = 1,4, β = 10,3.
10.70. Дана функция распределения F(x) случайной величины Х. Найти плотность распределения вероятности f(x), математическое ожидание M(X) и вероятность попадания случайной величины в интервал х1 ≤ Х < x2.

х1 = –0,5, x2 = 0,5.
10.80. Дана функция плотности распределения f(x) случайной величины Х. Найти параметр A, функцию распределения F(x), построить графики функций F(x) и f(x), вычислить математическое ожидание MX, дисперсию DХ среднеквадратичное отклонение σx, вероятности событий X<x0, X>x0, х1≤Х≤x2.

x0 = 0, х1 = –0,5, x2 = 0,5.
10.90. Непрерывная случайная величина распределена по нормальному закону с параметрами а и σ. Найти вероятности событий Х<А; X>B; А≤Х≤B; |X–a|<tσ. Найти интервал [а–δ, а+δ], в который случайная величина попадает с вероятностью Р.
а = 5, σ = 1, А = 1, B = 12, t = 1,0, Р = 0,8.
10.100. В таблице приведена первичная выборка объема n = 100. Составить вариационный ряд и сгруппированный статистический ряд. Построить гистограмму выборки. Построить график эмпирической функции распределения.
26,81    22,38    22,77    21,21    16,71    16,99    19,75    19,05    9,96    14,74
16,13    21,36    20,32    21,25    13,46    26,11    17,44    24,08    24,55    15,61
20,65    14,14    22,45    21,37    16,39    9,94    21,43    18,06    19,32    14,39
23,95    18,83    21,64    19,91    16,91    24,63    22,55    19,12    18,32    15,32
26,85    20,80    16,36    13,15    24,80    25,63    12,45    20,01    18,08    10,31
25,26    8,97    12,47    20,67    16,42    18,11    24,50    12,74    20,67    18,16
18,46    24,13    15,11    18,82    27,33    20,52    15,52    14,29    22,21    24,04
14,92    10,83    19,79    17,60    18,14    14,19    22,85    25,35    19,10    20,22
17,43    13,69    31,90    17,17    18,24    21,99    27,61    20,11    13,34    13,38
18,25    23,79    15,96    17,49    21,00    17,23    8,79    15,95    22,43    26,87
10.110. Результаты 100 измерений некоторой физической величины представлены в таблице.
1. Составить вариационный ряд.
2. Составить сгруппированный статистический ряд.
3. Построить гистограмму выборки.
4. Построить график эмпирической функции распределения.
5. Найти выборочное среднее, выборочное среднеквадратическое отклонение, коэффициенты асимметрии и эксцесса.
6. Построить доверительный интервал для математического ожидания при доверительной вероятности γ1.
7. Построить доверительный интервал для среднеквадратического отклонения при доверительной вероятности γ2.
8. Проверить с помощью критерия Пирсона гипотезу H0 о том, что генеральная совокупность распределена по нормальному закону.
0,92    -2,06    -0,07    -0,93    0,95    2,08    0,31    -0,66    2,53    0,61
0,47    2,91    -0,51    1,73    0,00    1,56    -1,16    0,79    -0,93    2,25
-1,41    0,85    -2,26    -3,76    -0,93    1,12    -0,31    1,48    -0,16    -1,40
-0,30    -0,54    -0,64    3,83    -1,70    -1,24    -0,07    -1,54    0,83    -2,09
0,85    -0,17    -1,02    -0,13    1,15    -0,40    0,17    0,55    2,39    1,57
-0,74    3,51    2,39    0,68    -0,52    -0,85    0,52    0,04    1,84    0,07
2,36    -0,30    0,31    1,85    -1,81    0,41    -0,10    0,41    -1,36    0,59
-0,38    -1,78    2,23    -1,39    -2,25    0,81    -0,21    0,44    0,03    -2,35
-0,48    -0,68    1,30    -3,34    -0,72    -1,43    -0,21    0,00    -0,47    2,08
1,22    -1,41    0,13    1,56    0,03    -0,59    0,88    1,87    0,03    2,09
γ1 = 0,80; γ2 = 0,90.