ТерВер СПбГТУ Вариант 27 (9 заданий)

ТерВер СПбГТУ Вариант 27 (9 заданий)



Санкт-Петербургский Государственный Технический Университет

Ю.Д. Максимов,  Б.А. Куклин,  Ю.А. Хватов



МАТЕМАТИКА
Выпуск 6
Теория вероятностей
Контрольные задания с образцами решений
Тест
Конспект-справочник

Санкт-Петербург
Издательство СПбГТУ
2002




Теория вероятностей
Вариант 27 (9 заданий)




    1. В партии из L изделий имеются дефектные изделия. Для контроля из партии случайным образом выбираются l изделий. Вся партия принимается, если среди выбранных изделий не оказывается дефектных. Найти вероятность p приёмки партии, если в ней R дефектных изделий. Вычислить эту вероятность при L = 20, l = 4, R = 2.

    2. Дана схема включения элементов.

    Вероятность безотказной работы каждого элемента в течение времени T равна p. Элементы работают независимо и включены в цепь по приведённой схеме. Пусть событие Ai означает безотказную работу за время T элемента с номером i (i = 1, 2, …), а событие B – безотказную работу всей цепи. Требуется:
    2.1. Написать формулу, выражающую событие B через все события Ai.
    2.2. Найти вероятность события B.
    2.3. Вычислить P(B) при p = 1/2.

    3. Медицинский анализ выявляет имеющуюся у больного болезнь a с вероятностью p1 и ошибочно указывает на эту болезнь при её отсутствии с вероятностью p2. У больных, направленных на анализ с предварительным диагнозом болезни a, она встречается с вероятностью p.
3.1. Найти вероятность P(A) того, что у пациента анализ не укажет на болезнь a.
3.2. Вычислить P(A) при p = 0,7, p1 = 0,9, p2 = 0,1.
3.3. Вычислить по формуле Байеса вероятность того, что у пациента действительно отсутствует болезнь a при условии, что и анализ на неё не указал.

    4. За период в 131 год с 1865 по 1995 г. в Санкт-Петербурге 10-го января среднесуточная температура выше 0° (событие A) наблюдалась 20 раз, из них выше плюс 3° (событие B) – всего 1 раз (+3,8° в 1971 г.). Исходя из этих статистических данных, примем P(A) = 20/131 = 0,15, P(B) = 1/131 = 0,008.
4.1. Найти вероятность того, что в предстоящие ближайшие 4 года событие A будет наблюдаться не менее одного раза.
4.2. С помощью приближённой формулы Пуассона найти вероятность того, что хотя бы в одном году из предстоящих 50-ти последовательных лет событие B произойдёт.

    5. Орудие стреляет по цели до первого попадания, либо до израсходования боекомплекта, состоящего из пяти снарядов. Вероятность попадания с первого выстрела равна 0,4, со второго – 0,5, при всех последующих – 0,6. Пусть X – число произведённых выстрелов.
5.1. Составить таблицу распределения X.
5.2. Найти mX.
5.3. Найти P(X < mX).

    6. Плотность вероятности случайной величины X задана формулой:

    Найти
6.1. C.
6.2. F(x).
6.3. mX.
6.4. DX.
6.5. sX.
6.6. P(X > mX).
6.7. Me.
6.8. Построить графики f(x) и F(x).

    7. Каким должно быть среднее квадратическое отклонение sX, чтобы параметр детали X отклонялся от номинала mX = 20 по модулю не более чем на 1 % номинала с вероятностью 0,95? Предполагается, что случайная величина X распределена нормально.

    8. X, Y – индикаторы событий A, B, означающие положительные ответы соответственно на вопросы a, b социологической анкеты. По данным социологического опроса двумерная случайная величина (X, Y) имеет следующую таблицу распределения.
        
Y
X    0    1
0    p11    p12
1    p21    p22
        
    Положительному ответу присвоен ранг 1, отрицательному – 0.

    Здесь:
p11 = 0,3,  p12 = 0,15,  p21 = 0,05,  p22 = 0,5.
    Найти коэффициент корреляции rXY.

    9. Двумерная случайная величина (X, Y) распределена равномерно в области D. D – криволинейный треугольник, ограниченный линиями y = x3, x = 1, y = 0.
9.1. Составить плотность вероятности fXY(x,y).
9.2. Найти fX(x), fY(y).
    Вычислить:
9.3. mX, mY.
9.4. sX, sY;
9.5. rXY.
9.6. Выяснить, зависимы или нет X, Y.