ТерВер СПбГТУ Вариант 12 (9 заданий)

ТерВер СПбГТУ Вариант 12 (9 заданий)



Санкт-Петербургский Государственный Технический Университет

Ю.Д. Максимов,  Б.А. Куклин,  Ю.А. Хватов



МАТЕМАТИКА
Выпуск 6
Теория вероятностей
Контрольные задания с образцами решений
Тест
Конспект-справочник

Санкт-Петербург
Издательство СПбГТУ
2002


Теория вероятностей
Вариант 12 (9 заданий)




    1. В семиэтажном доме лифт может останавливаться на шести этажах, начиная со второго. В лифт вошли 4 пассажира, каждый из которых с одинаковой вероятностью может выйти на любом этаже. Какова вероятность того, что пассажиры выйдут парами на разных этажах?

    2. Дана схема включения элементов.
    Вероятность отказа каждого элемента в течение времени T равна p. Элементы работают независимо и включены в цепь по приведённой схеме. Пусть событие Ai означает отказ элемента с номером i (i = 1, 2, 3 …), а событие B – отказ цепи за время T (прекращение тока в цепи). Требуется:
    2.1. Написать формулу, выражающую событие B через все события Ai.
    2.2. Найти вероятность события B.
    2.3. Вычислить P(B) при p = 1/2.

    3. В водоёме обитают три вида хищных рыб: судаки, щуки и окуни в соотношении 1 : 2 : 4. Для поимки хищной рыбы на некоторое время выставляется живцовая снасть. Оказавшийся в поле зрения хищника живец бывает им схвачен с вероятностью 0,4 – для судака, 0,3 – для щуки, 0,2 – для окуня.
    3.1. Какова вероятность захвата живца хищником за время ловли (событие A), если вероятность обнаружения живца судаком, щукой или окунем пропорциональна их численности?
    3.2. К какому виду вероятнее всего принадлежит рыба, схватившая живца?

    4. Вероятность брака изделия равна 0,02. Контролёр-автомат обнаруживает брак с вероятностью 0,95. Найти вероятность того, что из n изделий, признанных контролёром-автоматом годными, бракованных не более одного.
    4.1. Вычислить эту вероятность при n = 500.
    4.2. Вычислить ту же вероятность с помощью приближённой формулы Пуассона.
    4.3. Вычислить абсолютную D и относительную d погрешности приближённого вычисления.

    5. Каждая из 100 деталей подвергается двум испытаниям. Вероятность выхода из строя каждой детали при первом испытании равна 0,1, при втором – 0,2. Найти закон распределения и математическое ожидание числа X вышедших из строя деталей.

    6. Плотность вероятности случайной величины X задана формулой:

    Найти:
6.1. C;
6.2. F(x);
6.3. mX;
6.4. DX;
6.5. sX;
6.6. P(|X – mX| < sX);
6.7. x1/4 – нижнюю квартиль.
6.8. Построить графики f(x) и F(x).

    7. Ошибка X измерительного прибора распределена нормально. Систематическая ошибка прибора отсутствует (mX = 0). Средняя квадратическая ошибка sX = 8 мкм (микрометров). Найти вероятность того, что при очередном измерении ошибка превысит по модулю 8 мкм.

    8. Детали на производстве сортируются на 4 группы по величине отклонений от номиналов двух существенных параметров. Отклонения ранжируются. Ранги X, Y отклонений могут принимать лишь значения 0 и 1. Распределение двумерной случайной величины (X, Y) задано таблицей.
        
Y
X    0    1
0    p11    p12
1    p21    p22
        
    Здесь:
p11 = 0,4,  p12 = 0,2,  p21 = 0,1,  p22 = 0,3.
    Найти коэффициент корреляции rXY, называемый ранговым.

    9. Плотность вероятности двумерной случайной величины (X, Y) задана формулой:

    Найти:
9.1. C;
9.2. fX(x), fY(y);
9.3. mX, mY.
9.4. sX, sY;
9.5. rXY.
9.6. Выяснить, зависимы или нет X, Y.