Математика ТулГУ Вариант 1 (15 заданий)

!!! Если нужны другие варианты этой работы - пишите в личку !!!

Тульский Государственный Университет
Высшая математика
Контрольная работа
Вариант №1 (15 заданий)
Задания №№:    21,  31,  41,  51,  71,  91,  131,  151,  161,  171,  191,  201,  241,  271,  281


    В задачах 21-30 даны координаты точек A, B, C. Требуется:
1) записать векторы AB и AC в системе орт и найти модули этих векторов;
2) найти угол между векторами AB и AC;
3) составить уравнение плоскости, проходящей через точку С перпендикулярно вектору AB.
21    A(7; -4; 1),  B(12; -3; 1),  C(10; 1; 5).

    В задачах 31-40 даны векторы a1, a2, a3, b. Показать, что векторы a1, a2, a3 образуют базис трёхмерного пространства и найти координаты вектора b в этом базисе.
31    a1 {2; 1; 3},  a2 {3; -1; 1},  a3 {1; -1; -2},  b {7; 0; 7}.

    В задачах 41-50 систему уравнений записать в матричной форме и решить её с помощью обратной матрицы:
41    

    В задачах 51-70 найти указанные пределы (не пользуясь правилом Лопиталя):
51    а)  ;
    б)  ;
    в)  ;
    г)  .

          В задачах 71-90 найти производные функций:
71    а) y = x tgx + ln cosx + e5x;
    б)  ;
    в) x3y3 – 2xy + 3 = 0.

    В задачах 91-110 исследовать данные функции методами дифференциального исчисления и построить их графики.
    Исследование функции рекомендуется проводить по следующей схеме:
1) найти область определения функции;
2) исследовать функцию на непрерывность;
3) определить, является ли данная функция чётной, нечётной;
4) найти интервалы монотонности функции и точки её экстремума;
5) найти интервалы выпуклости и вогнутости графика функции и точки перегиба;
6) найти асимптоты графика функции.
91    y = 2/(1 + x2).

    В задачах 131-150 найти указанные неопределённые интегралы и результаты интегрирования проверить дифференцированием:
131    а)  ;
    б)  ;
    в)  .

    В задачах 151-160 вычислить площадь фигуры, ограниченной указанными линиями. Сделать чертёж.
151    у = x3,  у = Корень(x).

    В задачах 161-165 вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной указанными линиями (сделать чертёж).
161    y2 = x,  y = x2.

    В задачах 171-190 найти общее решение дифференциаль¬ных уравнений первого порядка:
171    (e2x + 1) dy + ye2x dx = 0.

    В задачах 191-200 найти частное решение дифференциального уравнения второго порядка, удовлетворяющее указанным начальным условиям:
191    y``+ y` – 2y = 6x2,      y(0) = – 4,  y`(0) = – 1.

    В задачах 201-220 дан степенной ряд. Найти интервал сходимости ряда и исследовать его сходимость на концах интервала.
201      .

    241. В читальном зале имеется 6 учебников по теории ве¬роятностей, из которых три в мягком переплёте. Библиотекарь взял два учебника. Найти вероятность того, что оба учебника окажутся в мягком переплёте.

    В задачах 271-280 задан закон распределения дискретной случайной величины X (в первой строке указаны возмож¬ные значения величины X, во второй строке даны вероятности p этих значений).
    Найти:
1) математическое ожидание MX;
2) дисперсию DX;
3) среднее квадратическое отклонение s.
                    
271    X    8    4    6    5
    p    0,1    0,3    0,2    0,4
                    

    В задачах 281-290 случайная величина X задана интегральной функцией распределения F(x). Найти:
1) дифференциальную функцию распределения f(x);
2) математическое ожидание MX;
3) дисперсию DX.
281        0    при x < 0,
     F(x) =    x2    при 0 <= x <= 1,
        1    при x > 1.