Теория вероятности и мат статистика

3.1.1. В подгруппе по изучению иностранного языка 10 студентов, из них 9 отлично знающих язык. Сколькими способами можно организовать группу из 6 студентов для поездки за границу, среди которых четверо отлично знают язык?
3.1.2. Директор фирмы заключил 10 договоров. Пять из них, вопреки советам юриста он заключил с нарушением налогового законодательства. Найти вероятность того, что при налоговой проверке среди наудачу взятых четырех договоров, три окажутся без нарушений законодательства?
3.1.3. Ведутся поиски 5 преступников. Каждый из них независимо от других может быть обнаружен в течение суток с вероятностью  . Какова вероятность того, что в течение суток будет обнаружен: а) хотя бы один преступник; б) ровно два преступника; в) не менее двух преступников.
3.1.4. Курсант производит 5 независимых выстрелов по мишени с вероятностью попадания 0,3. Найти вероятность: а) двух попаданий; б) не менее двух попаданий; в) не более одного.
3.1.5. Вероятность того, что клиент банка не вернет заем в период экономического роста, равна  , а в период экономического кризиса −  . Предположим, что вероятность того, что начнется период экономического роста, равна 0,65. Чему равна вероятность того, что случайно выбранный клиент банка не вернет полученный кредит?
3.1.6. Оперативный дежурный МВД по г. Москве в среднем регистрирует 1 преступление за 4 часа. Количество регистрируемых преступлений в единицу времени подчиняется закону Пуассона. Определить вероятность того, что: а) за 4 часа будет зарегистрировано 2 преступления; б) за 4 часа будет зарегистрировано хотя бы 1 преступление; в) за 4 часа будет зарегистрировано не более 2-х преступлений.
Закон распределения дискретной случайной величины   имеет вид:
-2    -1    0    1    5
pi    0,2    0,1    0,2    
Найти вероятности  ,  , и дисперсию  , если математическое ожидание равно .
3.2.2. Плотность распределения непрерывной случайной величины Х имеет вид:

Найти:
а) параметр а; б) функцию распределения  ;
в) вероятность попадания случайной величины Х в интервал  ;
г) математическое ожидание   и дисперсию  . Построить графики функций   и  .
3.2.3. Случайные величины  ,  ,   имеют геометрическое, биномиальное и пуассоновское распределения соответственно. Найти вероятности  , если математические ожидания  , а дисперсия  , где  .
3.2.4. Случайные величины  ,  ,   имеют равномерное, показательное и нормальное распределения соответственно. Найти вероятности  , если у этих случайных величин математические ожидания и средние квадратические отклонения равны  .
Численная обработка данных одномерной выборки.
Выборка X объемом   измерений задана таблицей:










5    13    25    25    19    10    3
где   − результаты измерений,
  − частоты, с которыми встречаются значения  ,  
Значения   рассчитываются по формуле  .
4.1.1. Построить полигон относительных частот  
4.1.2. Вычислить выборочное среднее  , выборочную дисперсию   и среднее квадратическое отклонение  .
4.1.3. По критерию   проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности при уровне значимости  .
4.2. Построение уравнений прямой регрессии.
Двумерная выборка результатов совместных измерений признаков   и   объемом   измерений задана корреляционной таблицей:
    y1    y2    y3    y4    y5    

x1    2    3    –    –    –    5
x2    3    8    2    –    –    13
x3    –    9    16    –    –    25
x4    –    –    12    10    –    25
x5    –    –    9    10    –    19
x6    –    –    3    6    1    10
x7    –    –    –    1    2    3

5    20    45    27    3    N = 100
где:  ,  .
4.2.1. Найти   и   для выборки
уj    y1    y2    y3    y4    y5

5    20    45    27    3
Примечание. Расчеты   и   можно провести аналогично расчетам   и   в задаче 4.1.2.
4.2.2. Построить уравнение линейной регрессии Y на X в виде  , где   и   следует взять из задачи 4.1.2.
4.2.3. На графике изобразить корреляционное поле, то есть нанести точки ( ) и построить прямую  .
Примечание. Уравнение регрессии сначала рекомендуется найти в виде
,
где  – выборочный коэффициент корреляции.